Tanzpartnerinnen


Jakob B. lebt in Basel und geht gerne tanzen. Samstags ruft er Annette oder Britta an und fragt, ob sie am Abend seine Tanzpartnerin sein möchte. Erfahrungsgemäß sagt Annette mit Wahrscheinlichkeit  p_A  zu und Britta mit Wahrscheinlichkeit  p_B . Jeden Samstag entscheidet Jakob sich, wen er zuerst anruft; falls das angerufene Mädchen absagt, versucht er es bei dem anderen. Jakob tanzt mit beiden gleich gern. Wie erreicht er, dass er auf Dauer mit beiden Mädchen gleich oft tanzen geht?

Lösung

Jakob rechnet aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit  q_A  er zuerst Annette anrufen muss. Für Britta ist dann die entsprechende Wahrscheinlichkeit  q_B = 1 - q_A .

(1)
Ruft Jakob zuerst Annette an, so tanzt er mit ihr mit Wahrscheinlichkeit  p_A  und mit Britta mit Wahrscheinlichkeit  (1 - p_A)·p_B .

(2)
Ruft Jakob zuerst Britta an, so tanzt er mit ihr mit Wahrscheinlichkeit  p_B  und mit Annette mit Wahrscheinlichkeit  (1 - p_B)·p_A .

Auch wenn es nicht zur Aufgabenstellung gehört: In beiden Fällen ergibt sich, dass Jakob mit Wahrscheinlichkeit  1 - p_A - p_B + p_A·p_B  mit keinem der beiden Mädchen tanzen geht.

(1) geschieht mit Wahrscheinlichkeit  q_A  und (2) mit  q_B , also ist Annette Jakobs Tanzpartnerin mit Wahrscheinlichkeit  q_A·p_A + q_B·(1 - p_B)·p_A  und Britta mit  q_A·(1 - p_A)·p_B + q_B·p_B .

Setzt man diese Wahrscheinlichkeiten gleich (mit  q_B = 1 - q_A ), so erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit

q_A = (p_B - p_A + p_A·p_B)/(2·p_A·p_B)

An dieser Lösung fällt auf, dass sie nicht für beliebige  p_A, p_B  gelten kann. Denn  q_A  muss im Intervall  [0,1]  liegen.
→  Aus  q_A ≥ 0  folgt   p_A - p_B ≤ p_A·p_B .
   Aus  q_A ≤ 1  folgt   p_B - p_A ≤ p_A·p_B .

Also kann Jakob nur dann mit Annette und Britta gleich oft tanzen gehen, wenn gilt:

|p_A - p_B| ≤ p_A·p_B 

Welche Werte von  x = p_A  und  y = p_B  zu einer Lösung führen, kann man der folgenden Grafik entnehmen. Die Lösungsfläche ist grau eingefärbt, die Begrenzungskurven erhält man mit den berechneten Ungleichungen. Aus dem bestimmten Integral der unteren Begrenzungskurve ergibt sich, dass die Lösungsfläche nur den Anteil  (2 ln 2) - 1  (ca.  38,6 % ) des Einheitsquadrats einnimmt.




Beispiele

p_A = 3/4   und   p_B = 1/2  ⇒  q_A = 1/6

p_A = 4/5   und   p_B = 2/5  ⇒   keine Lösung

Publiziert 2011-03-22          Stand 2010-11-03

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