Manfred Börgens Mathematische Probleme # 76 |
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101
Die Lösung steht im unteren Teil der Seite.
101 ist ein objektives (oder neutrales) 2-Personen-Spiel, das auch Unentschieden zulässt ( → Spieltheorie).
"Spielbrett": n nebeneinander angeordnete (zunächst leere) Felder; n ≥ 3 (im Bild n = 9 ).
Spielregel: Die Spieler A (Anziehender) und B (Nachziehender) füllen abwechselnd die Felder in beliebiger Reihenfolge aus; es sind nur die Einträge 0 oder 1 erlaubt. Der Spieler, der als erster die Teilfolge ...101... erzeugt, ist Sieger.
Da es sich um ein endliches objektives Spiel handelt, muss es optimale Strategien für A bzw. B geben. Diese wollen wir suchen. Wir werden sehen, dass diese Strategien von n abhängen.
An dieser Stelle könnte die Problemstellung enden. Wer also ohne weitere Hilfe die Lösung finden möchte, soll einfach nicht weiterlesen.
Für dieses Problem gibt es einen Schlüssel, der sehr einfach zu formulieren, aber nicht leicht zu finden ist. Wenn man geduldig ausprobiert, welche Spielsituation (immer!) beim letzten Zug vor dem Gewinnzug vorliegt, kann man den Schlüssel finden.
Für die Ungeduldigen soll der Schlüssel hier offenbart werden. Interessant wird dann der zweite Teil des Problems: Wie sollen A und B den Schlüssel für ihre Strategie verwerten?
Schlüssel: Ein Spieler kann nur gewinnen, wenn der Gegner gezwungen ist, in der folgenden Konstellation eines der leeren Felder zwischen den Einsen auszufüllen.
Noch ein Hinweis: A oder B werden versuchen, die Schlüssel-Konstellation bei Spielbeginn so schnell wie möglich zu erzeugen. Probieren Sie dies am besten zuerst für große n aus.
Im Original wurde dieses Spiel mit Y2K Game bezeichnet, und statt 101 wurde SOS verwendet (Mathematics Magazine 73/3).
Der Spieler, der nur noch zwei leere Felder zwischen zwei Einsen vorfindet, hat offenbar verloren. Das gilt auch, wenn es mehrere solcher Lücken gibt, aber sonst alles ausgefüllt ist, wie z.B. in dem folgenden Bild:
Es soll bewiesen werden, dass keine anderen Konstellationen zum Erfolg führen können. Wir betrachten den vorletzten Zug (also den des Verlierers). Dieser Zug muss sowohl beim Eintrag einer 1 als auch einer 0 zum Verlust führen. Da bei beiden Spielern optimales Spiel vorausgesetzt wird, kann es in allen früheren Zügen keine Gelegenheit gegeben haben, die 101 zu erzeugen. Der Eintrag einer 1 oder einer 0 beim vorletzten Zug muss also in eines der drei Felder der (im nächsten Zug siegbringenden) 101 erfolgen, ein weiteres (passendes) muss bereits ausgefüllt sein, und das dritte muss noch leer sein (für den Gewinnzug). Wir gehen beide Möglichkeiten durch (vorletzter Zug ins grüne Feld):
1. Fall: Der vorletzte Zug ist eine 0. Damit dieser Zug dem anderen Spieler zum Gewinn verhilft, muss ein Nachbarfeld eine 1 enthalten und das andere leer sein.
2. Fall: Der vorletzte Zug ist eine 1. Nur wenn angrenzend an das leere Feld eine 1 steht, kann der andere Spieler im nächsten Zug gewinnen.
Also muss vor dem vorletzten Zug die Konstellation (1) vorgelegen haben.
Die folgende Strategie liegt also nahe: Man setzt (möglichst früh im Spiel) eine 1, und wenn man das nächste Mal am Zug ist, setzt man eine weitere 1 drei Felder daneben (das ist natürlich nur dann erfolgversprechend, wenn am Ende des Spiels der Gegner den vorletzten Zug machen muss):
Die 0 in der zweiten Zeile steht für den Versuch, die Schlüsselkonstellation zu verhindern. - Das Spiel geht nun weiter, bis die Konstellation (1) übrigbleibt. Dort gibt es eine gerade Anzahl leerer Felder. Wer am Zug ist, verliert. Das führt uns zu einem ersten Teilergebnis:
Publiziert 2011-09-27 Stand 2010-12-31
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