Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 66
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Der Kalender des Planeten Biluna


Unser intergalaktischer Korrespondent berichtet:

Biluna ist ein bewohnter Planet in einem fernen Sonnensystem. Biluna wird von zwei Monden umkreist, Xeluna und Yluna.


Planet mit 2 Monden

Die Bewohner Bilunas führen ihren Kalender so wie wir auf der Erde: Sie zählen die Tage und die Jahre. Aber bei den Monaten waren sie etwas einfallsreicher. Da sie beide Monde gleichermaßen verehren, haben sie zwei verschiedene Monatslängen eingeführt: 21 Tage (ziemlich genau die Umlaufzeit von Xeluna) und 10 Tage (ziemlich genau die Umlaufzeit von Yluna). Ganz wichtig ist auf Biluna, dass Sonnen- und Mondkalender miteinander harmonieren, d.h. jedes Jahr besteht aus einer ganzen Zahl von Monaten; kein Tag darf übrigbleiben.

Wegen der Nähe von Biluna zu einem massereichen anderen Planeten treten Schwankungen in der Jahreslänge auf. Seit Einführung des Kalenders auf Biluna ist es aber immer gelungen, die Anzahl der Tage in einem Jahr vollständig auf Xeluna- und Yluna-Monate aufzuteilen.

Auf Biluna nennt man die Anzahl der Tage  n  in einem Jahr
kalendarisch, wenn sich die  n  Tage vollständig auf Xeluna- und Yluna-Monate aufteilen lassen, so dass Sonnen- und Mondkalender miteinander harmonieren;
kalendarisch eindeutig, wenn diese Aufteilung eindeutig ist (die Reihenfolge von Xeluna- und Yluna-Monaten im Jahr spielt dabei keine Rolle); ansonsten heißen kalendarische Zahlen mehrdeutig.

Auf Biluna sind auch Kalender erlaubt, die in einem Jahr nur gleich lange Monate vorsehen, also ausschließlich Xeluna-Monate, aber keine Yluna-Monate, oder umgekehrt.

Wäre ein Biluna-Jahr wie ein Erdenjahr ...
... also mit 365 Tagen,
dann gäbe zwei prinzipiell verschiedene Kalender:

Ein Jahr umfasst:
5 Xeluna-Monate à 21 Tage und 26 Yluna-Monate à 10 Tage; oder
15 Xeluna-Monate à 21 Tage und 5 Yluna-Monate à 10 Tage.

n = 365  ist also kalendarisch zweideutig.

Für die Reihenfolge der Xeluna- und Yluna-Monate in einem Jahr mit 365 Tagen gibt es, wie man nachrechnen kann, 185.415 Möglichkeiten.

Zur Zeit dieses Berichtes hat das Jahr eine Länge, die kalendarisch mehrdeutig ist. Im folgenden Jahr muss aber der Kalender umgestellt werden: Das Jahr wird einen Tag kürzer werden und deshalb eine andere Zusammenstellung von Xeluna- und Yluna-Monaten haben; die Jahreslänge wird dann eine kalendarisch eindeutige Zahl sein. Die Astronomen auf Biluna haben ausgerechnet, dass die nächste Umstellung noch einige Zeit auf sich warten lassen wird, aber es steht schon fest, dass dann das Jahr um einen weiteren Tag verkürzt werden muss; diese Änderung wird wieder auf eine kalendarisch mehrdeutige Tageszahl führen. Da die Bewohner Bilunas die Abwechslung lieben, werden sie in der langen kalendarisch eindeutigen Phase  -  also ab dem nächsten Jahr  -  die Reihenfolge der Xeluna- und Yluna-Monate ständig wechseln. Das stellt kein Problem dar, denn dafür gibt es etwa 10 Millionen Möglichkeiten.

Wie lang ist das aktuelle Jahr auf Biluna?



Lösung



Publiziert 2009-03-11          Stand 2008-08-15


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