Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 51
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Primzahlenfreie Zahlenfolge


Die Zahlenfolge  an  wird rekursiv definiert:

a_1 = 1, a_n+1 = 10000a_n + 1

Es ist zu zeigen, dass diese Folge keine Primzahlen enthält.

Es gibt einen konstruktiven Beweis, d.h. zu jedem  an  lässt sich ein echter Teiler angeben. Wer dabei nicht weiterkommt, kann einen Tipp nachlesen.






Lösung




Die Folge beginnt mit

1, 10001, 100010001, 1000100010001, ...

1  ist keine Primzahl, und  10001  auch nicht, da  10001 = 73·137 . Für gerade  n  kommen in  an  eine gerade Anzahl Einsen vor. Offenbar ist also  10001  ein Teiler aller dieser  an .

Für ungerade  n  schreibt man  an  als geometrische Reihe:

Reihe 10hoch4k, k=0..n-1 = (10hoch4n -1)/9999

Man muss also in diesem Bruch nach Teilern suchen. Nach der dritten binomischen Formel ergibt sich die folgende Zerlegung:

Faktorzerlegung von a_n

Die  99  wurde nicht weiter zerlegt, da sie  -  in Analogie zu der Reihe für  an  -  offenbar mit dem ersten Faktor des Zählers wieder zu einer abbrechenden geometrischen Reihe gehört:

Reihe 10hoch2k, k=0..n-1

Der gefundene Faktor ist also für  n = 3, 5, 7, ...  :

10101, 101010101, 1010101010101, ...

Diese Zahlen sind allerdings nur dann Teiler von  an , wenn  (102n + 1)/101  eine natürliche Zahl ist. Dies gilt sicherlich für  n = 1 ; für größere ungerade  n  geht der Nachweis induktiv:

Sei  bn = 102n + 1  durch  101  teilbar. Die Differenz zu  bn+2  beträgt  102n · 9999  und ist durch  101  teilbar. Also ist auch  bn+2  durch  101  teilbar.




Publiziert 2005-06-12          Stand 2005-04-17


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