1610 wurde er Leitender Professor für Mathematik an der Universität Pisa und Hofmathematiker und -philosoph des Großherzogs der Toskana.

Galileo gilt als ein Begründer der modernen Naturwissenschaften. Seine Forschungen beruhten auf dem Zusammenwirken von Theorie, Experiment und Mathematik. Einige seiner wichtigsten Leistungen werden auf der Panama-Marke gewürdigt und weiter unten erklärt.

Galileo wurde schon während seiner Zeit an der Universität Padua berühmt durch die astronomischen Entdeckungen, die er mit den gerade erst erfundenen Fernrohren machte. Diese kamen aus den Niederlanden nach Italien und wurden von Galileo stark verbessert. Er wendete seine mathematischen Kenntnisse über die Optik an, um selbst Linsen für Fernrohre zu schleifen. Um die Jahreswende 1609/1610 erlebte Galileo eine Sternstunde der Wissenschaft. Er machte durch sein Fernrohr mit ca. 8-facher Vergrößerung zahlreiche erstaunliche Entdeckungen, die der damaligen Welt der Spätrenaissance geradezu unglaublich erscheinen mussten:

• Der Mond hat Berge !
• Die Venus hat Phasen !
• Der Jupiter hat Monde !
• Die Sonne hat Flecken !
• Die Milchstraße besteht aus einzelnen Sternen !

Während seiner letzten Lebensjahre im Arrest verfasste Galileo sein zweites Hauptwerk  Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze  (Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend). Er wagte nicht, dieses Werk der Kirche zur Genehmigung vorzulegen und ließ es in Straßburg und Leiden drucken.


Was zeigt die Briefmarke aus Panama?

Rechtwinkliges Dreieck

Die Marke hat die Form eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks. Das Dreieck ist deshalb ein halbiertes Quadrat. Die Basis hat die \(~\sqrt 2-\)fache Länge der Katheten.

Text unter dem Portrait

Fundador de la fisica experimental y de la dinamica moderna
Begründer der experimentellen Physik und der modernen Dynamik

Text entlang des oberen Randes

Cuatricentenario del nacimiento de Galileo Galilei 5.2.1564 - 8.1.1642
400-Jahr-Feier der Geburt von Galileo Galilei 5.2.1564 - 8.1.1642

Schiefer Turm von Pisa  –  Gravitacion   Gravitation

Galileo hat die Gesetze des freien Falls beschrieben. Sein Student und Biograph Vincenzo Viviani berichtet, dass Galileo dazu verschiedene Körper vom Schiefen Turm von Pisa hat fallen lassen. Jeder dieser Gegenstände fiel gleich schnell zu Boden  –  unabhängig von Material und Größe. Es ist umstritten, ob Vivianis Bericht wahrheitsgetreu ist. Außerdem waren solche Fallversuche lange vorher bekannt. Aber selbst wenn wir annehmen, dass Galileo seine Erkenntnisse zur Gravitation auf ganz anderem Wege oder durch Gedankenexperimente gewonnen hat, so liegt es dennoch nahe, dass er (vielleicht für seine Studenten) Objekte vom Schiefen Turm hat fallen lassen. Der Turm muss doch geradezu verführerisch auf einen Wissenschaftler gewirkt haben. Wo auf der Welt konnte man besser ein solches Experiment machen als in Pisa mit seinem außergewöhnlich schiefen Turm?

Kanone  –  Curva ballistica   Ballistische Kurve

Galileo zeigte, dass die Flugbahn eines Projektils parabolisch ist, wenn man den Effekt des Luftwiderstands nicht einbezieht.

Pendel  –  Pendulo isocromismo   Pendel mit konstanter Periode

Galileos Pendelgesetz: Die Länge \(_~L_~\) eines Pendels mit kleiner Auslenkung bestimmt die Schwingdauer \(_~T_~\) gemäß der Formel \(_~T=2_~\pi_~\sqrt{L/g_~}_~\) mit \(_~g=_~\)Schwerebeschleunigung. Lange Pendel schwingen also langsamer als kurze. Verlängert man etwa ein Pendel um das Vierfache, so schwingt es nur noch halb so schnell.

Waage  –  Balanza hidrostatica   Hydrostatische Waage

Eine hydrostatische Waage dient u.a. der Dichtebestimmung von Festkörpern nach dem Archimedischen Prinzip und wurde bereits auf der Briefmarke # 33 abgebildet und erläutert. Allerdings ist das auf beiden Marken dargestellte Design der Waage wohl weder auf Archimedes noch auf Galileo zurückzuführen. Galileos hydrostatische Waage beruht auf demselben Prinzip und ist gut bekannt, da er einen ausführlichen bebilderten Aufsatz darüber geschrieben hat [1]. Bild 1 zeigt diese Waage.

Bild 1    Galileos hydrostatische Waage

In Galileos Schrift [1] zu seiner Waage nimmt er Bezug auf Archimedes, verwendet dessen Hebel- und Auftriebsgesetze und gibt ein Rechenbeispiel, inspiriert durch Archimedes' Heureka-Experiment (dazu mehr weiter unten). Wir wollen das näher erläutern und verwenden dabei eine schematische und spiegelbildliche Skizze der Galileo-Waage, siehe Bild 2; dort verwende ich andere Buchstaben als Galileo.


Bild 2    Prinzip der von Galileo konzipierten hydrostatischen Waage

Links in Bild 2 ist die Waage im Gleichgewicht, d.h. das Werkstück hat die Masse \(_~m_~\).  Rechts ist das Werkstück in eine Flüssigkeit eingetaucht. Man verschiebt die angehängte Masse \(_~m_~\) so in den Punkt \(_~b_~\),  dass die Waage wieder im Gleichgewicht ist. Unser Ziel ist nun zunächst, nur über die Ablesung von \(_~b_~\) die Dichte des Werkstücks (links aufgehängt) zu bestimmen. Damit kann dann (weiter unten) die alte Geschichte von König Hierons Krone nochmal aufgegriffen werden.

\(a,~b\)   Entfernungen vom Aufhängepunkt der Waage (in cm)

\(m\)   Masse des Werkstücks (in g = Gramm)         \(m_{fl}\)   Masse der verdrängten Flüssigkeit (in g)

\(V\)   Volumen des Werkstücks sowie der von ihm verdrängten Flüssigkeit (in cm³ )

\(\rho = m/V\)   Dichte des Werkstücks (in g/cm³ )         \(\rho_{fl} = m_{fl}/V\)   Dichte der Flüssigkeit (in g/cm³ )

\(m_W\)   Wägung des Werkstücks in der Flüssigkeit (in g)

\[\text{Archimedisches Prinzip:}~~~~m~=~m_W+m_{fl}~=~m_W~+~V\cdot \rho_{fl}~~~~~\Rightarrow~~~~~V=\frac{m-m_W}{\rho_{fl}}\] \[\textbf{(1)}~~~\rho~=~\frac{m\cdot\rho_{fl}}{m-m_W}~~~~~\Rightarrow~~~~~m_W=m\cdot \left(1-\frac{\rho_{fl}}{\rho}\right)\] \[\text{Hebelgesetz:}~~~~m\cdot b~=~m_W\cdot a~~~~~\Rightarrow~~~~~b~=~a\cdot \frac{m_W}{m}~=~a\cdot \left(1-\frac{\rho_{fl}}{\rho}\right)~~~~~~~\text{nach (1)}\] \[\textbf{(2)}~~~\rho~=~\frac{\rho_{fl}}{1-b/a}\] \[\textbf{(3)}~~~b~=~a\cdot\left(1-\frac{\rho_{fl}}{\rho}\right)\] Da \(~\rho_{fl}~\) und \(~a~\) feste Größen sind, liefert (2) die Dichte des Werkstücks durch Ablesung von \(~b~\).

Nun zur Geschichte von Hierons Krone. König Hieron II. von Syrakus argwöhnte, dass die Krone, die er bei einem Goldschmied in Auftrag gegeben hatte, nicht ausschließlich aus dem übergebenem Gold bestand, sondern aus einer Legierung. Sein Hofmathematiker Archimedes konnte das nachweisen. Wie er das genau gemacht hat, nachdem er mit dem Ausruf "Heureka!" ("Ich habe es gefunden!") aus seiner übergelaufenen Badewanne gestiegen war, ist umstritten. Am häufigsten findet man die Version [3], die der römische Architekt Vitruv etwa 200 Jahre später aufgeschrieben hat, und die auch in [4] steht. Sie beruht auf der Messung des verdrängten Wassers beim Eintauchen von Körpern gleicher Masse, aber verschiedenen Volumens. Galileo hat diese Version nicht geglaubt, weil er die dort beschriebene Methode für zu ungenau hielt; siehe [1]. In [2] wird die Geschichte anders erzählt, und dort kommt man den folgenden Überlegungen Galileos viel näher.

Wie hätte Galileo mit seiner Waage den Betrug des Goldschmieds aufgedeckt? Wir werden sehen, dass er nicht nur erkennen konnte, dass die Krone nicht aus reinem Gold war (das hätte Hieron vermutlich schon genügt). Unter der Annahme, dass die Krone aus Gold und Silber legiert war und der Goldschmied ein Teil des ihm übergebenen Goldes einbehalten hatte, konnte Galileo die genauen Gold- und Silberanteile messen.

Der Einfachheit halber wählen wir als Flüssigkeit Wasser mit \(~\rho_{fl}=1~\) und \(~a=1~\).  Es wird dreimal gewogen. Das Werkstück aus Bild 2 sei dabei nacheinander die Krone, die Masse \(~m~\) in reinem Gold und die Masse \(~m~\) in reinem Silber.

\(V,~~V_G,~~V_S~~~\) Volumina Krone, Gold in Krone, Silber in Krone

\(\rho,~~\rho_G,~~\rho_S~~~\) Dichten Krone, Gold, Silber

\(m,~~m_G,~~m_S~~~\) Massen Krone, Gold in Krone, Silber in Krone

\(b=1-1/\rho,~~~~b_G=1-1/\rho_G,~~~~b_S=1-1/\rho_S~~~\) nach (3) Ablesungen auf dem Waagenarm jeweils für die Masse \(~m~\) (Krone, Gold, Silber).

Da der Goldschmied schlau genug war, der Krone eine Masse gleich der Masse des ihm übergebenen Goldes zu geben, ist \(~m_S~=~m-m_G~\). \[V~=~V_G+V_S=\frac{m_G}{\rho_G}+\frac{m-m_G}{\rho_S}~=~\frac{m}{\rho_S}+m_G\cdot \left(\frac{1}{\rho_G}-\frac{1}{\rho_S}\right)~=~m\cdot (1-b_S)+m_G\cdot (b_S-b_G)\] \[V~=~\frac{m}{\rho}~=~m\cdot (1-b)\] Setzt man diese beiden Ausdrücke für \(~V~\) gleich, erhält man \[m_G~=~m\cdot \frac{b-b_S}{b_G-b_S}~=~m\cdot q\] Der Massenanteil von Gold in der Krone ist also \[\textbf{(4)}~~~q~=~\frac{b-b_S}{b_G-b_S}\] Beispiel:

Galileos Waage möge Armlängen von jeweils \(~2~\)m  haben, mit einer Ablesegenauigkeit für \(_~b_~\) von \(_~0,5~\)mm.  Galileo könnte z.B. abgelesen haben:

\(~b=0,935~\) (\(=187~\)cm  auf dem Waagenarm)
\(~b_G=0,94825~\) (\(=189,65~\)cm  auf dem Waagenarm) für die Masse \(~m~\) in reinem Gold
\(~b_S=0,90475~\) (\(=180,95~\) cm auf dem Waagenarm) für die Masse \(~m~\) in reinem Silber

Nach (2) ist \(~\rho_{G,S}=1/(1-b_{G,S})~\),  also \(~\rho_G\approx 19,3237~\) und \(~\rho_S\approx 10,4987~\),  was den tatsächlichen Dichten für Gold und Silber gut entspricht.

Nach (4) enthält die Krone  69,54 % Gold (Massenanteil).

Das Volumen \(~V~\) der Krone ist größer als das Volumen \(~V_{m~~in~~Gold}~\) des Goldes, das dem Goldschmied übergeben würde (Archimedes: "Heureka!"). Wir wollen das genau ausrechnen:

\[V~=~\frac{m\cdot q}{\rho_G}~+~\frac{m\cdot (1-q)}{\rho_S}~~~~~~~~~~~~~V_{m~~in~~Gold}~=~\frac{m}{\rho_G}\] \[\frac{V}{V_{m~~in~~Gold}}~=~q~+~(1-q)\cdot \frac{\rho_G}{\rho_S}\] Im Beispiel beträgt dieser Quotient ca. \(~1,256~\).  Die Krone hat also ein um  25,6 %  größeres Volumen als das übergebene Gold.


Quellen

[1]  Galileo Galilei:  The Golden Crown  –  Galileo's Balance

[2]  tec-science:  Das archimedische Prinzip des Auftriebs (Krone des Archimedes)

[3]  Vitruv:  Ten Books of Architecture   Einleitung 9. Buch

[4]  Wikipedia:  Entdeckung des archimedischen Prinzips