Der Satz des Ptolemäus

Die niederländische Privatmarke ist ein schönes Beispiel für mathematische Philatelie: Sie zeigt einen geometrischen Lehrsatz mit Formel, Graphik und Portrait des Urhebers.

Claudius Ptolemäus (ca. 85 - ca. 165 nach MacTutor) war ein griechischer Gelehrter, dessen Leben und Wirken bereits bei Briefmarke # 98 vorgestellt wurden.

Der Lehrsatz, der nach seinem Entdecker Ptolemäus benannt ist, handelt von konvexen Sehnenvierecken, also von Vierecken mit einem Umkreis.

Satz des Ptolemäus

In einem konvexen Sehnenviereck ist die Summe aus den beiden Produkten der Seitenlängen gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt der Längen beider Diagonalen.

Mit den Bezeichnungen aus der Briefmarke lautet der Satz:

\(a\cdot c~+~b\cdot d~=~e\cdot f\)

Mit den Bezeichnungen aus der linken Skizze in Bild 1 lautet der Satz:

\(AB\cdot CD~+~BC\cdot AD~=~AC\cdot BD\)

Hier und im Folgenden sollen Bezeichnungen wie \(~a, b, ..., AB, AC ...\) sowohl für die Strecken als auch für deren Längen verwendet werden.

Es gibt zahlreiche Beweise für diesen Satz (→ hier findet man einige von ihnen). Wir wollen einen Beweis ohne Worte angeben. Er stützt sich auf [1]. Ganz "ohne Worte" verständlich ist er allerdings nur bei aufmerksamem Hinschauen. Deshalb werden unter Bild 1  –  dieses Bild ist der "Beweis ohne Worte"  –  Erläuterungen angefügt, das Verständnis der beiden Skizzen  –  falls gewünscht oder erforderlich  –  erleichtern.

Bild 1:  Beweis ohne Worte für den Satz des Ptolemäus
Die Bezeichnungen orientieren sich an denen auf der Briefmarke.

Um den Beweis zu verstehen, müsste zunächst Folgendes erkannt werden:

• Die farbigen Punkte stehen für Winkel; mit gleichen Farben für gleich große Winkel.


• Für die Übereinstimmung der beiden schwarzen und der beiden orangenen Winkel muss jeweils der Peripheriewinkelsatz herangezogen werden.


• Dreiecke gleicher Farbe sind ähnlich.

Der Kernpunkt des Beweises ist offenbar die Idee, den grünen Winkel \(~\angle~DAC~\) auch für ein neues Dreieck \(~EAB~\) in der rechten Skizze von Bild 1 einzuzeichnen. Damit sind dann auch die blauen Winkel gleich groß.

Die beiden grünen und die beiden gelben Dreiecke sind einander jeweils ähnlich, weil sie je zwei gleiche Winkel aufweisen.

Bis hierhin ist der Gedankengang nicht sehr schwierig. Für den letzten Beweisschritt muss nun die Aussage des Satzes aus der Ähnlichkeit der Dreiecke gefolgert werden. Geht das nur durch Nachdenken? Nun, vielleicht, etwa wie folgt: \[\text{Dreiecke}~ABC \sim AED~\text{(gelb)}~~~\Rightarrow~~~\frac{b}{e}=\frac{f_1}{d}~~~\Rightarrow~~~b\cdot d=f_1\cdot e\] \[\text{Dreiecke}~ACD \sim ABE~\text{(grün)}~~~\Rightarrow~~~\frac{c}{e}=\frac{f_2}{a}~~~\Rightarrow~~~a\cdot c=f_2\cdot e\]                                                                              ----------------- \[~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a\cdot c~+~b\cdot d~=~e\cdot f~~~~~~\blacksquare\] Natürlich wird man (mindestens) für den letzten Schritt Stift und Papier zur Hand nehmen wollen, aber mit etwas Wohlwollen können wir von einem "Beweis ohne Worte" sprechen. Roger B. Nelsen hatte jedenfalls keine Bedenken, in seinem Buch [1] von einem "Proof Without Words" zu schreiben.


Weiteres zum Satz des Ptolemäus

• Es gilt auch die Umkehrung des Ptolemäischen Satzes:
  Ist in einem konvexen Viereck die Summe aus den beiden Produkten der Seitenlängen gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt der Längen beider Diagonalen, so handelt es sich um ein Sehnenviereck  (→ Quelle, siehe dort unter Ptolemy's inequality).


• Der Satz des Pythagoras folgt aus dem Satz des Ptolemäus  –  anders formuliert: Der Satz des Ptolemäus ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.
  Zum Beweis nimmt man ein spezielles Sehnenviereck, nämlich ein Rechteck mit \(~a=c,~~b=d,~~e=f~\).  Für das gelbe Dreieck links in Bild 1 (rechtwinklig bei \(B~\)) gilt dann nach Ptolemäus: \(~a^2+b^2=e^2~\).

[1]  Nelsen, R. B.: Proofs Without Words III, Seite 22



Kategorie: Beweise ohne Worte