Gleichzeitig mit diesem Problem erscheint eine Briefmarken-Seite zu Galileo, die sich seinem Leben und seinem wissenschaftlichen Werk widmet.
Hier ist Galileos Gleichung: \[\frac{1}{3}~=~\frac{1+3}{5+7}~=~\frac{1+3+5}{7+9+11}~=~...~=~\frac{\sum_{_~i_~=_~1}^{_~n}~(2_~i-1)}{\sum_{_~i_~=_~n+1}^{_~2_~n}~(2_~i-1)}\] Man nimmt also die ersten \(~2_~n~\) ungeraden Zahlen und schreibt die erste Hälfte von ihnen summiert in den Zähler und die zweite Hälfte summiert in den Nenner. Dieser Bruch ist immer \(~= 1/3~\), unabhängig von \(~n~\).
1. Beweisen Sie Galileos Gleichung.
2. In 1. wurde eine rechnerische Lösung erwartet. Für Galileos Gleichung gibt es aber auch einen Beweis ohne Worte, siehe Bild 1:
Bild 1
Zeigen Sie, dass Bild 1 ein "Beweis" für Galileos Gleichung ist.
Die Lösung erscheint Ende September.