Liberia 1999    Michel 2515



500 Jahre vor Pascal: Das Pascal'sche Dreieck mit alten chinesischen Dezimalzahlen


Schon ein erster Blick auf die Briefmarke zeigt, dass dort das Pascal'sche Dreieck abgebildet ist. Das Bild stammt aus dem Buch  Siyuan Yujian  (auch: Ssu-yuan Yu-chien), das 1303 von Zhu Shijie (auch: Chu Shih-Chieh, ca. 1260 - ca. 1320) veröffentlicht wurde. Der Titel kann in deutscher Übersetzung  Der kostbare Spiegel der vier Elemente  oder  Jadespiegel der vier Unbekannten  oder  Die wahre Wiedergabe der vier Unbekannten  lauten. Aber schon frühere chinesische Mathematiker haben das Dreieck gekannt, denn Zhu Shijie beschreibt es als alte Methode der Potenzen bis zur achten. Im Kopf der Briefmarke wird als Ursprung das 12. Jahrhundert angegeben, aber es wird auch Jia Xian (ca.  1010 - ca. 1070) zugeschrieben, der es vor 1050 entdeckt haben soll.


Das Dezimalsystem der chinesischen Gelehrten

China kennt verschiedene Zahldarstellungen. Das Zahlsystem auf der Briefmarke entstand vermutlich ca. 200 v. Chr. oder noch früher und diente wissenschaftlichen Zwecken. Es handelt sich um ein Stellenwertsystem zur Basis 10; die Ziffern 1 bis 9 konnten mit Bambusstäbchen gelegt werden. Dabei diente die Zahl 5 als Hilfsbasis, d.h. jedes Stäbchen stand entweder für 1 oder für 5. Jede Ziffer konnte in zwei Varianten dargestellt werden, siehe Bild 1. Wie wir noch sehen werden, erleichterte dies die Orientierung bei mehrstelligen Zahlen.


Bild 1

Die Zahlen wurden meist auf einem Rechenbrett dargestellt, das man sich als liegenden Setzkasten vorstellen kann. Jede Ziffer wurde mit Bambusstäbchen in ein Kästchen gelegt. Wie bei unseren arabischen Zahlen standen die Ziffern waagerecht nebeneinander, mit der Einerstelle ganz rechts, der Zehnerstelle links daneben usw. Bei mehrstelligen Zahlen wurde die Darstellung übersichtlicher, wenn man die Ziffern abwechselnd aus der 1. und 2. Reihe legte.

Da man Rechenkästchen leer lassen konnte, wurde keine Null benötigt. Allerdings wurde die schriftliche Darstellung von Zahlen dadurch erschwert. Erst um 800 führten die Chinesen die Null ein, wahrscheinlich aus Indien. In Bild 2 sieht man oben eine vierstellige Zahl auf einem Rechenbrett, mit den Ziffern für die ungeraden Zehnerpotenzen aus der ersten und für die geraden Zehnerpotenzen aus der zweiten Reihe. Darunter steht die Zahl 70, erst ohne Null auf dem Rechenbrett, dann als geschriebene Zahl, wie sie auch auf der Briefmarke vorkommt.



Bild 2


Wahrscheinlich ist dieses chinesische Zahlsystem das zweitälteste Stellenwertsystem (nach dem babylonischen) und das älteste Dezimalsystem. Nimmt man allerdings die Verwendung der Null als Maßstab für ein vollwertiges Stellenwertsystem, so ist das indische (Dezimal-)System, das von den Arabern und später von den Europäern übernommen wurde, älter als das chinesische. Verblüffend ist die Ähnlichkeit zum Zahlsystem der Maya, das ebenfalls alle Ziffern (außer der Null) aus Symbolen für 1 und 5 zusammensetzte.


Die Darstellung auf der Briefmarke

Man muss das Dreieck auf der Briefmarke um 90° drehen, um die chinesischen Zahlen richtig lesen zu können. In Bild 3 sind sie den entsprechenden arabischen Zahlen gegenübergestellt.



Bild 3

Jede Zahl ist die Summe der unmittelbar rechts benachbarten Zahlen. Das erklärt die verbindenden Striche zwischen den Kreisen. In der westlichen Welt ist dieses Dreieck nach Blaise Pascal benannt. Es hat zahlreiche Anwendungen. Wir wollen von der gekippten Variante in Bild 3 ausgehen. Man beginnt am rechten Ende mit der Zählung der Spalten; diese Zählung und diejenige der untereinander stehenden Elemente soll bei  0  beginnen. Damit ist dann z.B. das 2. Element in der 5. Spalte die 10, kurz  a_5,2 = 10 . Auf diese Weise erhält man den Binomialkoeffizienten



Dieser gibt u.a. die Anzahl der ungeordneten 2-elementigen Stichproben aus einer 5-elementigen Menge an. Die Binomialkoeffizienten beziehen ihren Namen aus dem binomischen Lehrsatz. Multipliziert man nämlich z.B.  (x+1)ⁿ  zu einem vollständigen Polynom aus, so trägt  x^k  den Vorfaktor  a_n,k . Die 4. Spalte im Pascal'schen Dreieck ergibt somit:

(x+1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1

Auf einige Besonderheiten der chinesischen Zahlen auf der Briefmarke soll noch hingewiesen werden. Die einstelligen Zahlen sind alle durch Ziffern aus der ersten Reihe dargestellt. Bei den zweistelligen Zahlen 56 und 70 sind die Einer-Ziffern aus der ersten und die Zehner-Ziffern aus der zweiten Reihe, bei allen anderen ist es umgekehrt.  -  Und es gibt einen Fehler bei der Zahldarstellung: Der Zeichner des Dreiecks hat wohl etwas hastig gearbeitet und das Element  a_7,3  als 34 dargestellt, und nicht, wie es richtig wäre, als 35, siehe Bild 4.



Bild 4

Kategorie: Chinesische Mathematik

Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π

Publiziert 2008-09-07          Stand 2008-03-23