Macao 1987

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Glücksspiele :  Baccara, Roulette, Fan Tan, Cussec



Macao

Macao ist eine Stadt an der Südküste Chinas, in der Nachbarschaft von Hongkong und Kanton. Bis 1999 war Macao eine portugiesische Kolonie (mit dem portugiesischen Namen Macau). Seither ist es eine Sonderverwaltungszone innerhalb der Volksrepublik China. Wie auch Hongkong wird Macao nach dem politischen Prinzip verwaltet: "Ein Land, zwei Systeme". Das sozialistische Wirtschaftssystem der Volksrepublik wird in Macao nicht angewandt; Macao genießt Autonomie, mit Ausnahme der Verteidigung und der Außenpolitik.



Macao lebt vom Tourismus und vom Glücksspiel. Wegen seiner zahlreichen Spielcasinos wird es das "Las Vegas Asiens" genannt. So ist es nicht verwunderlich, dass Macao 1987 eine Briefmarkenserie mit vier Glücksspielen herausgab, die in den Casinos der Stadt zu den beliebtesten zählen. Roulette und Baccara sind weltweit bekannte Spiele, Fan Tan und Cussec dagegen nicht.



Falsche Würfel

Bevor etwas zu den Spielregeln und zum mathematischen Hintergrund gesagt wird, soll der Blick auf eine Kuriosität in der rechten Marke gelenkt werden, die das Würfelspiel Cussec zeigt. Offensichtlich ist der Würfel rechts oben nicht in Ordnung, denn er zeigt zwei Fünfen. Dies ist kein Versehen des Grafikers. Er hatte auf der rechten Seite dieses Würfels vier Augen gezeichnet. Aber die Postverwaltung gab der Druckerei die Anweisung, dort ein fünftes Auge einzufügen, weil für Chinesen die Zahl Vier ein Symbol des Todes ist. (Natürlich wäre es schöner gewesen, wenn man Punkte gelöscht hätte, um eine Zwei darzustellen.)  -  Außer diesem leicht sichtbaren Fehler gibt es noch einen weiteren zweifelhaften Umstand in der Darstellung der Würfel. Fast alle Würfel, die man in die Hand bekommt, zeigen auf gegenüberliegenden Seiten jeweils die Augensumme 7. Für die Anordnung der Zahlen auf den Würfelseiten gibt es dann nur noch zwei Möglichkeiten, die man sich am einfachsten durch die Anordnung der Zahlen 1, 2 und 3 veranschaulichen kann. Sind diese drei Zahlen auf dem Würfel aufgetragen, sind auch die Positionen der anderen drei festgelegt.


links: normierter Würfel
rechts: nicht-normierter Würfel

Es ist sinnvoll, dass man sich unter professionellen Spielern  -  also insbesondere in den Casinos  -  auf eine der beiden Varianten einigt und diese zur "Norm" erklärt. Dies reduziert nämlich die Möglichkeiten zum Betrug. Man stelle sich vor, ein Spieler bringt heimlich einen Würfel ins Spiel, der statt der 1 eine 6 hat; dieser Würfel hätte dann zwei 6en auf einander gegenüberliegenden Seiten. Diese Manipulation ist nicht leicht zu erkennen, da die Mitspieler nie beide 6en gleichzeitig sehen. Aber einem erfahrenen Spieler würden schnell "verdrehte Augenbilder" auffallen, die bei einem normierten Würfel nicht vorkommen können. Bei unserem Beispiel würden beispielsweise die beiden folgenden Augenbilder auftreten und den Würfel damit als gefälscht entlarven:



Bei der am meisten verbreiteten Variante der Normierung sind die Zahlen 1, 2 und 3 im Gegenuhrzeigersinn angeordnet, so wie beim linken Würfel im ersten Würfelbild oben. Da ein Würfel acht Ecken hat, gibt es dann acht Augenbilder für den normierten Würfel (bis auf Drehungen der drei sichtbaren Zahlen um die gemeinsame Ecke), die in der oberen Zeile des folgenden Bildes aufgezeichnet sind. In der unteren Zeile sind die Augenbilder für die andere Würfelvariante zu sehen. Hat man sich auf die beschriebene Normierung verständigt, würde ein Augenbild aus der unteren Zeile aufdecken, dass es sich um einen gefälschten Würfel handeln muss.


Oben: normierter Würfel ,  unten: nicht-normierter Würfel

Von den 31 Würfeln, die ich in meinem Haushalt gefunden habe, sind 26 in diesem Sinne normiert. Aber alle drei Würfel auf der Briefmarke sind es nicht, auch wenn man die 4 auf der rechten Seite des rechten Würfels rekonstruiert.



Glücksspiele in Macao

Fast alle bekannten Glücksspiele bekommt man in Macao angeboten. Ihre Regeln und die Auszahlungen im Gewinnfall sind staatlich geregelt. Dies gilt jedenfalls für die legal operierenden Casinos  -  illegale Spielhöllen gibt es auch. Für die vier Spiele auf den Briefmarken werden im folgenden die in Macao geltenden Bedingungen beschrieben. Es zeigt sich, dass die Gewinnchancen  -  genauer :  der durchschnittlich zu erwartende Rückfluss der Einsätze an die Spieler  -  bei den einzelnen Spielen durchaus unterschiedlich sind. Bei Roulette und Fan Tan ist dies sehr einfach und transparent geregelt, etwas schwieriger ist es schon beim Baccara, und beim Cussec hat es der Spieler in der Hand, ob er vergleichsweise faire Wetten platziert oder solche, die der Bank hohen Gewinn eintragen. Bei allen vier Spielen lohnt es sich jedenfalls, die Gewinnchancen berechnen zu können.



Baccara (Bacará)

Baccara (in Amerika und einigen anderen Ländern auch Baccarat geschrieben) ist ein Glücksspiel mit Spielkarten. Die Grundidee ist sehr einfach :  Es werden Karten an zwei (fiktive) Parteien zufällig und offen ausgeteilt; die Spieler haben vor dem Austeilen darauf gewettet, welche Partei das bessere Blatt erhalten wird oder ob beide ein gleich gutes Blatt bekommen (Unentschieden). Es handelt sich also um eine simple Auswahl aus drei Möglichkeiten. Nachdem festgestellt worden ist, welche Partei das bessere Blatt hat oder ob ein Unentschieden vorliegt, ist das Spiel sofort beendet, es wird also nicht etwa mit den ausgeteilten Karten gespielt. Die Spieler haben keinerlei Einflussmöglichkeiten. Dass Baccara dennoch weltweit ein beliebtes Spiel ist, liegt an zwei Dingen :  Zum einen wird die Spannung durch die Art des Austeilens künstlich gesteigert, zum anderen glauben viele Spieler (wie auch bei anderen Glücksspielen), durch Beobachtung von Serien zurückliegender Spiele auf den Ausgang künftiger Spiele schließen zu können  -  leider liegen sie da völlig falsch.

Die beiden Parteien heißen (etwas irreführend) Banker und Player. Weder ist der Banker die Bank noch spielt der Player mit; beides sind nur Namen zur Unterscheidung von zwei Kartenhäufchen. (Es gibt allerdings eine europäische Version von Baccara, nämlich Chemin de Fer, bei der sowohl Banker als auch Player reale Mitspieler sind; darauf wird weiter unten noch eingegangen.) Der Spielkartensatz besteht aus sechs bis zwölf kompletten Sets à 52 Karten (2 bis 10, Bube, Dame, König, As; in je vier Farben). Zunächst erhalten Banker und Player je zwei Karten. Banker und/oder Player erhalten unter bestimmten Umständen, die in den Spielregeln genau festgelegt sind, eine weitere Karte. Eine komplette Hand besteht also immer aus zwei oder drei Karten. Für beide Hände wird nun jeweils eine Punktzahl ermittelt. Die Einzelkarten haben folgende Werte:

As = 1          Bube = Dame = König = 0          2 bis 10 mit ihrem normalen Zahlenwert

Diese Punkte werden für jede Hand addiert. Das Endergebnis einer Hand ist dann die Punktsumme modulo 10, d.h. die letzte Stelle dieser Summe. Z.B. führt eine Punktsumme von 13 auf das Ergebnis 3. (Aus diesem Grunde kann man die 10 auch direkt mit 0 bewerten, wie die Bilder). Die Farben der Spielkarten sind unerheblich. Beide Parteien haben also ein Ergebnis zwischen 0 und 9. Die Partei mit dem höheren Ergebnis gewinnt.

Banker 1 Punkt              Player 7 Punkte (gewinnt)

Die Ziehungsregeln für die dritte Karte sind verschieden für Banker und Player und sorgen für unterschiedliche Gewinnwahrscheinlichkeiten. Die Regeln lassen sich in drei Gruppen gliedern:

"Natural"
Hat (mindestens) eine der beiden Parteien 8 oder 9 Punkte, erhalten beide Parteien keine dritte Karte. Die Briefmarke zeigt ein solches Natural.

Player zieht eine dritte Karte
Der Player wird immer vor dem Banker bedient. Der Player erhält genau dann eine dritte Karte, wenn kein Natural vorliegt und wenn er aus den beiden ersten Karten weniger als 6 Punkte hat.

Banker zieht eine dritte Karte
Ob der Banker eine dritte Karte erhält, hängt davon ab, ob der Player eine dritte Karte erhalten hat und welchen Punktwert diese hat. In der folgenden Tabelle ist am linken Rand der Wert der beiden ersten Karten des Bankers und am oberen Rand der Wert der dritten Karte des Players eingetragen; N bedeutet, dass der Player keine dritte Karte erhalten hat. Ein X bedeutet, dass der Banker eine dritte Karte erhält. Die Tabelle ist natürlich gegenstandslos, falls ein Natural vorliegt.

         3. Karte Player
         N  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
Banker
     0   X  X  X  X  X  X  X  X  X  X  X
     1   X  X  X  X  X  X  X  X  X  X  X
     2   X  X  X  X  X  X  X  X  X  X  X
     3   X  X  X  X  X  X  X  X  X  -  X
     4   X  -  -  X  X  X  X  X  X  -  -
     5   X  -  -  -  -  X  X  X  X  -  -
     6   -  -  -  -  -  -  -  X  X  -  -
     7   -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -


Die Baccara-Spieler setzen jeweils für einzelne Spiele Geld auf Banker, Player oder Unentschieden. Außerdem können sie auf "Banker-Paar" oder "Player-Paar" wetten; ein Paar liegt vor, wenn sich die beiden ersten Karten einer Partei höchstens in der Farbe unterscheiden, also z.B. zwei Neunen bei Banker oder zwei Asse bei Player  -  gewettet wird aber nicht auf ein bestimmtes Paar, sondern nur darauf, dass überhaupt ein Paar bei einer bestimmten Partei auftritt. Die Auszahlungen (incl. Rückzahlung des Einsatzes) für gewonnene Wetten sind in Macao:

 1,95 für Wetten auf Banker
 2    für Wetten auf Player
 9    für Wetten auf Unentschieden
12    für Wetten auf Banker-Paar
12    für Wetten auf Player-Paar

Bei verlorenen Wetten fällt der Einsatz an die Bank, mit einer möglichen Ausnahme :  Das Casino kann festlegen, dass bei Unentschieden die Einsätze auf Banker und Player zurückgezahlt werden. Bei der Ermittlung der Gewinnwahrscheinlichkeiten müssen also beide Varianten berücksichtigt werden.

Den Wahrscheinlichkeiten, die im folgenden berechnet werden, liegt eine Simulation einer großen Anzahl von Spielen (> 12.000.000) zu Grunde. Da die Karten immer aus einem endlichen gemischten Spielkartensatz ohne Zurücklegen gezogen werden, könnte man vermuten, dass ein Spieler seine Gewinnchancen durch Mitzählen aller bereits ausgegebenen Karten erhöhen kann. Dies ist aber bei den Wetten auf Banker, Player oder Unentschieden nur in einem unwesentlichen Ausmaß möglich. In den Spielbanken werden nach dem Mischen immer einige Karten vom Anfang und vom Ende des Stapels weggenommen, ohne dass die Spieler diese Karten sehen können. Vom Anfang werden etwa sechs bis zwölf, vom Ende etwa zwölf Karten aus dem Spiel genommen.

Für die Wetten auf Banker-Paar und Player-Paar braucht man keine Simulation, sondern kann exakte Wahrscheinlichkeiten berechnen. Allerdings kann es hier sehr wohl vorteilhaft sein, alle Karten mitzuzählen, um z.B. gegen Ende eines Kartenstapels zu wissen, ob die einzelnen Kartenwerte sehr ungleich verteilt sind. Die berechnete Wahrscheinlichkeit bezieht sich also nur auf den Fall, dass ein Spieler zu einem beliebigen Zeitpunkt an den Spieltisch tritt und ohne Kenntnis der vorher ausgegebenen Karten eine Wette auf Banker-Paar oder Player-Paar platziert. Für 6, 9 bzw. 12 Kartensets ergeben sich die folgenden Gewinnwahrscheinlichkeiten p:

 6 × 52 = 312 Karten :  p = 23/311 ≈ 0,07395
 9 × 52 = 468 Karten :  p = 35/467 ≈ 0,07495
12 × 52 = 624 Karten :  p = 47/623 ≈ 0,07544

Für die anderen Wetten ergibt die Simulation (die Anzahl der Kartensets hat hier keinen nennenswerten Einfluss):

p ≈ 0,4586  Banker gewinnt
p ≈ 0,4463  Player gewinnt
p ≈ 0,0952  Unentschieden


Ist  p  die Gewinnwahrscheinlichkeit für eine bestimmte Wette und  a  die zugehörige Auszahlung, so errechnet sich der durchschnittliche Bankgewinn zu  (1 - a·p)·100 % , falls Einsätze im Verlustfall an die Bank gehen. Aus den oben durchgeführten Berechnungen ergeben sich folgende Bankgewinne:

≈ 10,57 %   Wette auf Banker
≈ 10,74 %   Wette auf Player
≈ 14,32 %   Wette auf Unentschieden
≈ 11,25 % .. 10,06 % .. 9,47 %   Wette auf Paar  (6 .. 9 .. 12 Sets)


Macao erlaubt auch die Variante, dass bei Unentschieden die Einsätze auf Banker und auf Player zurückgezahlt werden (dies ist die weltweit verbreitetste Spielweise). Ist  q  die Gewinnwahrscheinlichkeit für eine Wette auf Unentschieden,  p  die Gewinnwahrscheinlichkeit für eine Wette auf Banker (bzw. Player), und  a  die Auszahlung für gewonnene Wetten auf Banker (bzw. Player), so errechnet sich der durchschnittliche Bankgewinn zu  (1 - a·p/(1-q))·100 % . Man erhält dann die folgenden Bankgewinne:

≈ 1,17 %   Wette auf Banker
≈ 1,36 %   Wette auf Player

In europäischen Casinos wird eine Variante von Baccara angeboten: Chemin de Fer. Hierbei übernimmt einer der Mitspieler die Funktion des Bankers (gemäß bestimmter Spielregeln wandert diese Funktion reihum), einer oder mehrere der Mitspieler übernehmen die Funktion des Players. Im Normalfall setzen alle Mitspieler aus der Player-Gruppe zusammen soviel Geld auf ein einzelnes Spiel wie der Banker; aber hier gibt es im Detail geregelte Ausnahmen. Chemin de Fer ist zwar auch weitgehend ein reines Glücksspiel, aber immerhin gibt es einige wenige Spielsituationen, in denen Banker oder Player selbst entscheiden können, ob sie eine dritte Karte nehmen wollen. Die Abweichungen bei Chemin de Fer gegenüber dem normalen Baccara erzeugen offenbar eine größere Spannung bei den Teilnehmern.



Roulette (Roleta)

Dieses Spiel hat weltweit weitgehend einheitliche Regeln. Diese sind so bekannt, dass sie hier nur kursorisch angegeben werden.

Der Spieler kann auf eine der Zahlen 0 - 36 wetten und erhält im Gewinnfall das 36-fache seines Einsatzes, verliert also im Durchschnitt  ¹/₃₇  oder rund  2,7 %  an die Bank. Das gleiche gilt, wenn er auf Gruppen von Zahlen wettet, z.B. auf alle geraden Zahlen ohne die Null (2-fache Auszahlung) oder auf eine Vierergruppe von Zahlen (9-fache Auszahlung). Der Bankgewinn von 2,7 % ist moderat, Roulette kann man deshalb als relativ faires und in seinen Regeln transparentes Spiel bezeichnen.



Fan Tan

Fan Tan ist ein in ganz China überaus beliebtes, sehr einfaches Glücksspiel, das ebenso wie Roulette fair und in der Gewinnausschüttung transparent ist.

Der Croupier (Spielleiter) arbeitet mit einem größeren Haufen von Spielsteinen (z.B. Knöpfen, Bohnen). In jeder Spielrunde trennt er willkürlich einen gewissen  -  nicht zu kleinen und nicht zu großen  -  Teil davon ab (meist ca. die Hälfte). Der abgetrennte Teil nimmt dann am Spiel teil und kommt zunächst unter einen Hut (auf der Briefmarke ist dieser Hut oben); der nicht verwendete Teil kommt unter einen anderen Hut (auf der Briefmarke unten). Die Spieler wetten nun auf die Zahl  N  der Spielsteine unter dem ersten Hut, wobei nur  N modulo 4  von Interesse ist, denn am Ende des Spiels verkündet der Croupier eines der folgenden Ergebnisse:

"1"    falls  N mod 4 = 1
"2"    falls  N mod 4 = 2
"3"    falls  N mod 4 = 3
"4"    falls  N mod 4 = 0

Seine Spannung bezieht das Spiel daraus, dass der Croupier nicht einfach nachzählt. Wenn alle Spieler ihre Einsätze abgegeben haben, hebt er den ersten Hut und sondert dann mit einem Stab immer vier Steine auf einmal ab. Das macht er so lange, bis noch 1, 2, 3, oder 4 Steine übrig sind, so dass jeder Spieler sofort das Endergebnis sehen kann. Auf der Briefmarke wurde das untere Häufchen beiseite geschoben, mit dem oberen gespielt. Der Croupier hat bereits dreimal vier Spielsteine mit seinem Stab von den übrigen getrennt. Man sieht, dass in diesem Spiel die "1" gewinnen wird.

Die Spieler können auf einzelne Wettzahlen (1 bis 4) oder auf Kombinationen daraus setzen. Fünf verschiedene Wetten sind möglich:

Im Gewinnfall erhält ein Spieler die faire Auszahlung aus der Tabelle abzüglich 5 % für die Bank.



Cussec

Cussec ist eine Art Roulette mit drei Würfeln, die gleichzeitig geworfen werden. Diese sind nicht unterscheidbar (etwa durch die Farbe), so dass die Spieler nur auf die drei "Augenbilder" ohne Berücksichtigung einer Reihenfolge wetten können. Eine Vielzahl verschiedener Wetten wird angeboten; diese sind in der nächsten Tabelle aufgelistet. Die Wetten unterscheiden sich durch die Gewinnwahrscheinlichkeit (so wie bei Fan Tan), aber auch durch die Höhe des Bankgewinns (anders als bei Fan Tan). Vorab zwei Beispiele:

Tripla especificado :  Man wettet auf einen bestimmten Dreierpasch und erhält im Gewinnfall seinen Einsatz zurück plus dem 150-fachen davon. Dies ist ein Beispiel für eine leicht kalkulierbare Wette, bei der allerdings die Bank gehörig absahnt, so dass man von dieser Wette abraten sollte. Die einfache Kalkulation: Man stellt sich die Würfel als unterscheidbar vor, so dass es 216 mögliche Ergebnisse gibt (d.h. 1,2,6 und 6,1,2 sind unterschiedliche Ergebnisse); nur ein Ergebnis führt zum Gewinn, also wäre die faire Gewinnauszahlung der 216-fache Einsatz (incl. Rückzahlung des Einsatzes). Allgemein berechnet man also die faire Gewinnauszahlung als  216 / (Anzahl günstiger Ergebnisse). Vergleicht man die tatsächliche Auszahlung (151-fach) mit der fairen Auszahlung (216-fach), so ergibt sich ein durchschnittlicher Bankgewinn von über 30 %.

Simples especificado :  Man wettet auf eine bestimmte Zahl und gewinnt, wenn diese Zahl mindestens einmal fällt. Dann erhält man seinen Einsatz zurück plus dem 1-, 2- bzw. 3-fachen davon, je nachdem, ob die gewählte Zahl einmal, zweimal oder dreimal fällt. Dies ist ein Beispiel für eine schwer kalkulierbare Wette (jedenfalls für Laien), bei der allerdings der Bankgewinn deutlich moderater ausfällt als beim Dreierpasch. Es gibt 75 Möglichkeiten, dass die gewählte Zahl genau einmal auf einem der drei Würfel erscheint, 15 Möglichkeiten für genau zweimal und 1 Möglichkeit für dreimal. In 91 von 216 Fällen gewinnt also der Spieler. Somit ist die durchschnittliche Auszahlung im Gewinnfall (incl. Einsatz)  (2·75 + 3·15 + 4·1) / 91 ≈ 2,187 .  Damit vergleichen wir die faire Auszahlung von  216 / 91 ≈ 2,374  und berechnen den Bankgewinn zu knapp 8 % .

Natürlich lässt sich auch hier der Bankgewinn wieder direkt mit der Formel  (1 - a·p)·100 %  berechnen (siehe Baccara). Die besonders günstigen Wetten sind in der Tabelle grün unterlegt.

Vergleich der vier Spiele

Baccara, Roulette, Fan Tan und Cussec sind reine Glücksspiele. Die Spieler wetten auf das Auftreten eines bestimmten Ergebnisses (z.B. "16" bei Roulette) oder auf die Kombination solcher Ergebnisse (z.B. "Schwarz" bei Roulette). Sie können den Lauf der "Spielgeräte" (Würfel, Karten usw.) nicht beeinflussen. Die vier Spiele unterscheiden sich in mehrfacher Hinsicht:

• Die Anzahl möglicher Ergebnisse schwankt stark (z.B. 4 bei Fan Tan, 37 bei Roulette). Für Cussec ist in der nächsten Tabelle die Anzahl der Ergebnisse aus Spielersicht angegeben, d.h. man kann nicht 216 Augenbilder unterscheiden, weil die Würfel ja alle gleich aussehen, sondern nur 56 ("ungeordnete 3-er-Stichprobe mit Zurücklegen" aus  { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ).


• Bei zwei Spielen haben alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit, bei den beiden anderen nicht.


• Die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit und damit des Anteils der Einsätze, der an die Bank fällt, ist unterschiedlich schwierig. Dieser Aspekt ist in der Tabelle mit "Transparenz" bezeichnet. Ein transparentes Spiel erlaubt es auch Laien, die Bankgewinne auszurechnen.


• Es lohnt sich, den Bankgewinn vor dem Spiel zu berechnen, da sich zwischen den vier Spielen und auch innerhalb einzelner Spiele erhebliche Unterschiede zeigen.

Am fairsten von allen vier Spielen scheint mir Roulette zu sein, da hier der Bankgewinn für alle Wettvarianten gleich und außerdem gering ist. Auch die "normalen" Wetten bei Baccara ergeben eine sehr günstige durchschnittliche Rückzahlung der Einsätze. Wenn man allerdings nur Cussec für gerade oder ungerade Augensummen spielt, erhält die Bank im Durchschnitt gar nichts von den Einsätzen.  -  Sieht man von Fairness und Transparenz ab, halte ich Cussec für das interessanteste Spiel.