| Manfred Börgens Mathematische Probleme # 23 |
Liste aller Probleme mit Lösungen voriges Problem nächstes Problem |
zur Leitseite |
Gezeigt werden drei Drahtkonstruktionen aus jeweils zwei Perspektiven. In den Bildern dienen die blauen Rasterlinien nur zur besseren Orientierung, die Drähte sind schwarz.
Sie können sich alle drei Gebilde als zusammenhängende Drahtkonstruktionen ohne freie Enden vorstellen, die innerhalb eines Würfels liegen. Legt man in den Bildern oben eine Einheit durch eine Kästchenseite fest, dann hat der Würfel die Kantenlänge 4.
Die Perspektiven soll man sich so vorstellen:
Der Einfachheit halber kann man sich den Würfel in R3 als die Teilmenge [-2,2] × [-2,2] × [-2,2] vorstellen, so dass der Würfelmittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Von oben schaut man dann auf die (x,y)-Ebene, von vorne auf die (x,z)-Ebene und von der Seite auf die (y,z)-Ebene.
Hier sind die Lösungen:
1. Konstruktion
Darstellung aus anderer Perspektive:
Die Lösung ist aber nicht eindeutig. Von den beiden Kreisen lässt sich oben und/oder unten jeweils ein Halbkreis wegnehmen. Man erhält so folgende weitere Seitenansichten:
2. Konstruktion
Bei der Seitenansicht handelt sich um eine Halbellipse mit den Halbachsen 2 und 4 . Dies wird weiter unten erläutert.
Darstellung aus anderer Perspektive:
Durch den Kreis (Ansicht von oben) wird aus dem Würfel ein Zylinder mit der Gleichung x2 + y2 = 4 ausgeschnitten. Die Ansicht von vorne führt zu zwei Ebenen durch den Würfel mit den Gleichungen z = -2 - 2x und z = -2 + 2x . Löst man diese Gleichungen nach x auf und setzt dann in die Zylindergleichung ein, so erhält man y2/4 + (z + 2)2/16 = 1 . Dies gibt die Seitenansicht wieder und ist die Gleichung der Ellipse mit Mittelpunkt y = 0, z = -2 und den Halbachsen 2 und 4 . Innerhalb des Würfels kommt z < -2 nicht vor, so dass es sich nur um eine Hälfte der Ellipse handelt.
3. Konstruktion
Es gibt auch andere Lösungen für die Seitenansicht:
Darstellungen aus anderer Perspektive:
Die anderen Lösungen erhält man aus den beiden letzten Bildern durch sukzessive 90°-Drehungen um die x-Achse.