| Manfred Börgens Mathematische Probleme # 18 |
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In Filmen scheint es oft so, dass sich bei vorwärts fahrenden Fahrzeugen die Räder rückwärts bewegen oder still stehen. Dies liegt daran, dass der Film keine kontinuierliche Bewegung zeigt, sondern eine diskrete Abfolge von Einzelbildern. Man kann sich das für ein Fahrrad gut veranschaulichen.
Ein Rad eines Fahrrades hat (in vielen Fällen) 36 Speichen, die aber nicht radial angebracht sind, d.h. sie liegen nicht entlang von Kreisradien. Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass sich das Speichenmuster nach der Drehung des Rades um einen bestimmten Winkel zur Deckung bringen lässt (also sich wiederholt); bei vielen gängigen Fahrrädern ist dies ein Winkel von 40°.
Wenn die Filmkamera 24 Bilder pro Sekunde macht, lässt sich ausrechnen, bei welcher Geschwindigkeit eines solchen Fahrrads die Räder im Film stillzustehen scheinen (eine etwas geringere Geschwindigkeit würde dann eine rückläufige Bewegung zeigen).
Berechnen Sie diese Geschwindigkeit für ein 28''-Fahrrad (Raddurchmesser 28 Zoll).
Zusatzfrage: Wie lässt sich die Geometrie der Speichen beschreiben? Das Bild zeigt ein typisches Rad mit 36 Speichen und einer 40°-Drehsymmetrie. Auf den ersten Blick ist das Bild verwirrend, aber beachten Sie bitte, dass die Speichen immer abwechselnd auf der Ihnen zugewandten und der abgewandten Seite von Felge und Nabe befestigt sind.
In 1/24 Sekunde soll sich das Fahrrad um 1/9 eines Radumfangs (entspricht einem Drehwinkel von 40°) weiterbewegen. Bei einem 28''-Rad beträgt der Umfang etwa 2.2343 m. Sei v die gesuchte Geschwindigkeit. Dann ist
Bei dieser Geschwindigkeit scheint das Rad im Film stillzustehen (natürlich auch bei ganzzahligen Vielfachen dieser Geschwindigkeit). Fährt das Fahrrad etwas langsamer, hat das Speichenmuster bei aufeinander folgenden Filmbildern die jeweils vorhergehende Position noch nicht ganz erreicht; dadurch entsteht der Eindruck der Rückwärts-Drehung.
Zur geometrischen Anordnung der Speichen:
Nicht alle Fahrräder sind gleich konstruiert, aber die folgende Beschreibung gilt für sehr viele gängige Modelle.
Man findet je 18 Speichen auf jeder Seite der Nabe. Zunächst wird nur eine Seite betrachtet. Dort findet man an Nabe und Felge je 18 Befestigungspunkte im Winkelabstand von 20°; je ein Befestigungspunkt auf Nabe und Felge liegen auf dem selben Kreisradius. Jetzt kommt die entscheidende Beobachtung: Die Speichen, die beim Winkel x° an der Felge befestigt sind, sind an der Nabe abwechselnd beim Winkel (x-60)° und (x+60)° befestigt. Dies ist im folgenden Bild dargestellt:
Die 18 Speichen auf einer Seite ergeben somit das folgende Muster:
Auf der anderen Seite von Felge und Nabe sind weitere 18 Speichen auf die gleiche Weise befestigt; im nächsten Bild sind diese blau gezeichnet. Sowohl die schwarzen als auch die blauen Speichen werden durch eine 40°-Drehung zur Deckung gebracht.
