Wieder soll jede Kundin in den Besitz eines Unikats kommen. Obwohl für jede Kette die gleichen Perlenfarben verwendet werden, ist die Anordnung der Perlen bei jeder Kette garantiert einzigartig.
| Manfred Börgens Mathematische Probleme # 16 |
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Das Versandhaus hat mit den Armreifen im September großen Erfolg gehabt und will für das Frühjahrsgeschäft eine ähnliche Aktion starten. Diesmal werden Halsketten angeboten, die wieder alle verschieden sein sollen. Sie bestehen aus einer Schnur ohne Verschluss, auf der im oberen Teil 80 kleine, gleichartige weiße Perlen und im unteren Teil 7 große, verschiedenfarbige sowie 5 große, gleichartige weiße Perlen aufgefädelt sind. Die großen weißen Perlen sollen nicht benachbart sein, sondern jeweils durch mindestens eine farbige Perle getrennt werden.
Wieder soll jede Kundin in den Besitz eines Unikats kommen. Obwohl für jede Kette die gleichen Perlenfarben verwendet werden, ist die Anordnung der Perlen bei jeder Kette garantiert einzigartig.
Wie viele solcher Ketten kann das Versandhaus maximal anbieten?
Man ordnet zunächst die farbigen Perlen an. Dafür gibt es 7 ! = 5.040 Möglichkeiten. Für die 5 weißen Perlen gibt es dann 6 mögliche Lücken zwischen den farbigen Perlen sowie 2 Außenpositionen, also insgesamt 8 mögliche Positionen. Für die Verteilung von 5 Perlen auf 8 Positionen gibt es
Möglichkeiten. Man erhält so 5.040 · 56 = 282.240 Ketten. Nun lässt sich aber jede Kette von links nach rechts drehen, also sind in Wirklichkeit unter den 282.240 Ketten 141.120 Paare (von zwei identischen Ketten).
Das Versandhaus kann 141.120 verschiedene Ketten anbieten.
Für m farbige und n weiße Perlen erhält man allgemein für die gesuchte Anzahl:
Ausnahme: m = 1 , n = 2 . Dies ist die einzige symmetrische Kette, also entfällt in der Formel die Division durch 2.