Problem des Monats Januar 2002

  - Zur Euro-Einführung -

Bei einem der ersten Banküberfälle nach Einführung des Euro war die Beute sehr bescheiden: Lediglich  880  1-Euro-Münzen fielen in die Hände der Bankräuber. Immerhin stand die Sache groß in allen Zeitungen, und so beschloss der Anführer, die Münzen zur Erinnerung aufzubewahren. Er zimmerte ein Kistchen, in das die Münzen genau hineinpassten. Er baute sie in Säulen zu je 10 Münzen auf und stellte diese Säulen Platz sparend nach diesem Muster in die Kiste:



Die vorderste Reihe nahm also genau die Breite der Kiste ein, alle weiteren Reihen wurden "auf Lücke" aufgestellt. Schließlich wurde der Deckel zugemacht.

Jeden Abend schüttelte der Anführer die Kiste, um zu prüfen, ob jemand Münzen entnommen hatte. Da er rundum nur 0,5 mm "Luft" gelassen hatte, war er sicher, dass er auf diese Weise fehlende Münzen sofort bemerken würde. Als er jedoch nach einiger Zeit die Kiste öffnete, fehlten etliche Münzen, obwohl es vorher beim Schütteln nicht gerappelt hatte. Der Anführer sah auch mit einem Blick, wie ihn einer seiner Komplizen reingelegt hatte.

Nämlich wie?

Finden Sie einen Weg, so viele Münzen wie möglich aus der Kiste zu nehmen und den Rest so zurückzulassen, dass der Anführer nichts merkt.

Lösung

Die beste mir bekannte Lösung ist: Man kann 40 Euro wegnehmen.

Es gibt andere - weniger Platz sparende - Anordnungen von Kreisen in der Ebene als die vom Anführer gewählte, die aber trotzdem "stabil" sind, also nicht verrutschen können. Darunter gibt es eine ganz einfache, nämlich die orthogonale Anordnung:



Dabei stehen also in jeder Reihe gleich viele Säulen. Es liegt nahe zu versuchen, eine ursprüngliche Anordnung von 88 Säulen zu einer orthogonalen Anordnung mit weniger Säulen umzustellen.

Dabei gibt es aber eine wichtige Randbedingung (im wahren Sinne des Wortes): Bei der Umordnung müssen die Säulen die Kiste bis zu den Rändern ausfüllen, damit sie stabil stehen.

Wie können die 88 Säulen in der Kiste gestanden haben? Wenn in der vordersten Reihe  m  Säulen stehen, dann stehen in der nächsten Reihe  m - 1  Säulen, bei  n  Reihen also insgesamt:

n · m - ⁿ/₂ = 88     falls n gerade

n · m - ^{( n - 1 )} /₂ = 88     falls n ungerade

Welche  n  und  m  in Frage kommen, hat man schnell durchprobiert. Sie stehen in den beiden ersten Spalten der Tabelle:


(Die letzte Spalte wird weiter unten erklärt.)

Die Kombination  (n,m) = (7,13)  würde das folgende Bild ergeben:



Ist  d  der Münzdurchmesser, dann hat die Kiste die Breite  B = m · d . Für die Länge  L  kommt die Randbedingung zum Tragen:  L  muss ein ganzzahliges Vielfaches von  d  sein (zumindest sehr nahe daran), damit bei der orthogonalen Anordnung die Säulen exakt in die Kiste passen.  L  muss also ausgerechnet werden:



In die Kistenlänge  L  geht die 1. Säulenreihe mit dem vollen Durchmesser  d  ein, alle weiteren Reihen nur noch mit  h  wie zwischen den gestrichelten Linien in der Skizze. Verschiebt man diese Strecke um  d / 2  nach unten, so ist  h  die Höhe des gleichseitigen Dreiecks, das durch die Kreismittelpunkte gebildet wird. Der Satz des Pythagoras verhilft uns zu



Mit dieser Formel ergibt sich  L  in der letzten Spalte der Tabelle oben.

Nur bei  n = 16  ist  L  sehr nahe an einem ganzzahligen Vielfachen von  d. Es fehlt etwa 0,1% von  L, also reicht der halbe Millimeter, den der Anführer im Kistenmaß zugegeben hat.

Bei der neuen Anordnung fehlen 4 Säulen, also 40 Euro: