| Manfred Börgens Mathematische Probleme # 2 |
Liste aller Probleme mit Lösungen voriges Problem nächstes Problem |
zur Leitseite |
Im vorigen Monat haben Sie sich (hoffentlich) mit der mathematischen Problematik von Wiesen vertraut gemacht. Sie brauchen sich nicht umzustellen: Hier kommt die nächste Wiesenaufgabe.
Die Brüder Jakob B. und Johann B. bewirtschaften gemeinsam eine Anzahl von Wiesen, die sie in der Nähe von Basel geerbt haben. Sie streiten sich viel (meist darüber, wer der bessere Mathematiker ist) und beschließen daher eines Tages, die Wiesen aufzuteilen. Diese sind sehr unterschiedlich gelegen, deshalb soll von jeder Wiese genau die Hälfte an jeden Bruder fallen. Jakob und Johann stellen fest, dass sie alle notwendigen Halbierungen durchführen können, indem sie jeweils eine gerade Grenze von Rand zu Rand ziehen. Auf diesen neuen Grenzen sollen Zäune gezogen werden, die natürlich möglichst kurz sein sollen. Die beiden Brüder geraten ins Nachdenken. Jakob fordert seinen Bruder mit einer Aufgabe heraus:
Ist die kürzeste Grenze immer gerade?
Johann kann das beantworten! Sie auch?
Johann nimmt Revanche und fragt seinen Bruder:
Kann es auch Wiesen geben, die sich durch keine gerade Strecke gerecht teilen lassen?
Mit Genugtuung präsentiert Jakob kurz darauf die Antwort. Wie lautet sie?
Bevor Sie anfangen, über die beiden Probleme nachzudenken, soll die Aufgabenstellung präziser formuliert werden. Unter einer Wiese soll eine ebene, endliche Fläche verstanden werden, die von einem geschlossenen Polygonzug (n-Eck) ohne Doppelpunkte (Berühr- oder Kreuzungspunkte) begrenzt wird. (Also bitte keine sphärische Geometrie wie im Oktober; hier ist nur ebene Geometrie verlangt.)
So könnten die Wiesen aussehen:
So dürfen die Wiesen nicht aussehen:
Die Teilungslinie soll in einem Stück von Rand zu Rand verlaufen und zwei gleich große zusammenhängende Wiesenstücke erzeugen, z.B. so:
Aber nicht so:
Wenn nun (im ersten Problem) gefragt wird, ob die kürzeste Teilungslinie immer gerade ist, so wird natürlich vorausgesetzt, dass die Wiese überhaupt (mindestens) eine gerade Strecke zur Teilung zulässt (so wie bei den Brüdern B.). Beim zweiten Problem ist dann von irgendwelchen anderen Wiesen die Rede, nicht von denen der Brüder B.