Problem des Monats Oktober 2000

David H. und Paul E. besitzen benachbarte Wiesen. Beide Wiesen haben vier Seiten; ihre Grenzen verlaufen exakt in Nord-Süd- bzw. West-Ost-Richtung. Davids Wiese ist an der Nord- und Südgrenze jeweils 900 m lang, die West- und die Ostgrenze sind jeweils 500 m lang. Bei Paul ist es umgekehrt: 500 m Grenzlänge im Norden und Süden, 900 m im Westen und Osten. Jetzt das Problem:

a) Wer besitzt die größere Wiese?
b) Wann geht auf den Wiesen morgen früh die Sonne auf?

Lösung

In Deutschland können solche Wiesen jedenfalls nicht liegen! Hierzulande liegen nämlich die Meridiane (Längengradlinien, also auch die West- und Ostgrenzen der Wiesen) im Süden weiter auseinander als im Norden, somit müssten die Nordgrenzen kürzer als die Südgrenzen sein. Auf der Südhalbkugel wäre es umgekehrt. Was folgt daraus? Ganz klar: Die Wiesen liegen am Äquator, und zwar symmetrisch zu ihm, also jeweils die Hälfte jeder Wiese nördlich und die Hälfte südlich.

Nun verhilft einem schon die Intuition zur Lösung: Pauls Wiese ist am Äquator (also in der Mitte) mehr als ⁵/₉ so breit wie Davids Wiese (wegen der größeren "Ausbauchung" der längeren Ost- und Westgrenzen, siehe Bild 1), während die Nord-Süd-Ausdehnung von Davids Wiese exakt ⁵/₉ derjenigen von Paul beträgt. Also ist Pauls Wiese größer.

Für die exakte, quantitative Lösung soll nun der Flächeninhalt der beiden Wiesen berechnet werden. Jede Wiese ist ein Ausschnitt aus der Mantelfläche einer Kugelschicht. Eine Kugelschicht ist eine "Scheibe", die zwischen zwei Breitengradlinien liegt. Für deren Mantelfläche geben die gängigen Formelsammlungen an:

Dabei ist  r  der Kugelradius und  h  die Dicke der Scheibe, d.h. der Abstand der begrenzenden Kreisflächen gemessen an der Polachse.

Einschub: In der Formel für  M  spielt es offenbar keine Rolle, an welcher Stelle der Kugel man die Scheibe ausschneidet. Zu den Polen hin werden zwar die Scheiben kleiner im Umfang, aber die Mantelfläche ist flacher und somit breiter. Dies ist das "Brotkrustentheorem" des Archimedes: Schneidet man ein kugelrundes Brot in gleich dicke Scheiben, so haben alle Scheiben gleich viel Kruste.



                          Bild 2

In Bild 2 ist

Die Wiesen bilden nur einen Teil dieser Mantelfläche. Der Anteil ist der Quotient (Länge Nordgrenze) / (Umfang des Breitengrads der Nordgrenze), abgekürzt

wobei  r₁  für den Radius des Erdquerschnitts beim Breitengrad der Nordgrenze steht (siehe Bild 2). Wegen

haben also die Wiesen den Flächeninhalt

Wir haben die Erde als kugelförmig angenommen, was in Äquatornähe auch recht gut stimmt. Für  r  setzen wir also den Erdradius am Äquator ein (6378388 m), für David  s = 900 m,  w = 500 m, für Paul  s = 500 m,  w = 900 m.

Beide Wiesen sind größer als die in der euklidischen Ebene zu erwartenden  450000 m²:
Davids Wiese hat etwa  2,3 cm²  mehr, Pauls Wiese etwa  7,5 cm². Der Unterschied entspricht etwa der Größe einer Briefmarke.

Damit ist Frage a) beantwortet. Da jetzt klar ist, dass beide Wiesen am Äquator liegen, ergibt sich für Frage b) die Antwort: 6 Uhr lokale Zeit (d.h. Ortszeit für den betreffenden Meridian).

Denn am Äquator sind alle Tage gleich lang; genauer: Es vergehen an jedem Tag zwischen Sonnenaufgang und -untergang genau 12 Stunden (hier wird der Linseneffekt der Atmosphäre unberücksichtigt gelassen: genau genommen sieht man die Sonne schon etwas vor ihrem astronomisch berechneten Aufgang und noch etwas nach ihrem astronomisch berechneten Untergang).