Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 124		 Liste aller Probleme mit Lösungen
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Blüten in Blüten

          Die Lösung steht im unteren Teil der Seite.

Auch im Herbst gibt es noch Blüten. Wir wollen sie nach einem bestimmten Muster zeichnen. Das soll in zwei Schritten geschehen:

1. Schritt: Um einen Einheitskreis wird ein Kranz von  n  gleich großen Kreisen gelegt, die alle den Einheitskreis berühren und sich gegenseitig berühren. Diese sollen hier "äußere Blütenblätter" heißen.

Die Mittelpunkte der äußeren Blütenblätter liegen also auf einem regelmäßigen  n-Eck; dies gilt auch für die beiden Ketten der Berührpunkte.

2. Schritt: Nun wird in die Mitte der äußeren Blütenblätter wieder ein Einheitskreis gelegt, um den genau wie im 1. Schritt ein Kranz von  m  Kreisen gelegt wird, die wir "innere Blütenblätter" nennen.

Das Ergebnis der beiden Schritte sieht man in Bild 1; dort ist  n = 4, m = 9 .  Die Einheitskreise sind grün gefüllt. Die inneren Blütenblätter wurden nur in eines der äußeren Blütenblätter gezeichnet, die anderen erhalten natürlich die gleiche Füllung.

Blueten, n=4, m=9
Bild 1


1. Frage:  Wie groß ist der Radius der äußeren und inneren Blütenblätter?

2. Frage:  Für welche Paare (n, m) ist die Anordnung möglich?


Lösung



Dieses Problem wurde durch die Aufgabe # 513 von Thomas Jahre auf der Website Chemnitzer Schulmodell angeregt. Diese Website ist eine riesengroße Schatztruhe mathematischer Probleme.  –  Hier geht es aber nicht um die Konstruktion der Blütenblätter mit Zirkel und Lineal wie bei Thomas Jahre, sondern nur darum, welche Werte  n  und  m  annehmen können.


1. Frage:  Wie groß ist der Radius der äußeren und inneren Blütenblätter?

Die Antwort ergibt sich aus Bild 2:

Radius r_n
Bild 2

sin α = r/(r+1)

Ist  n  die Anzahl der äußeren Blütenblätter, so ist  α = π/n ;  r = rn  sei der zugehörige Radius. Damit erhalten wir:

csc α = 1 + 1/rn   ⇒   rn = (csc(π/n) - 1)-1

Entsprechend ergibt sich für die inneren Blütenblätter:  rm = (csc(π/m) - 1)-1


2. Frage:  Für welche Paare (n, m) ist die Anordnung möglich?

n ≥ 3  ist offensichtlich. Wie groß darf  n  werden?  rn  fällt streng monoton mit wachsendem  n .  Damit der zweite Blütenschritt durchgeführt werden kann, muss  rn > 1  sein (der Einheitskreis muss vollständig in die äußeren Blütenblätter passen und noch etwas Platz für die inneren Blütenblätter lassen):

rn > 1  ⇔  csc(π/n)< 2  ⇔  π/n > arcsin 0,5  ⇔  n < π/arcsin 0,5 = 6

Also ist  n ∈ {3,4,5}. Wir stellen dafür eine kleine Tabelle mit gerundeten Werten auf:

n  rn
3  6,464
4  2,414
5  1,426
6  1

Nun sollen  m  innere Blütenblätter rund um den Einheitskreis innerhalb der  n  äußeren Blütenblätter passen. Dazu schauen wir uns Bild 3 an:

Radius r_m
Bild 3

1 + 2rm ≤ rn

Diese Bedingung werden wir für  n ∈ {3,4,5} nach  m  auflösen. Da  rm  mit wachsendem  m  streng monoton fällt, gibt es für jedes  n ∈ {3,4,5}  ein minimales  m .

1 + 2rm ≤ rn  ⇔  csc(π/m) ≥ 1 + 2/(rn-1) = (rn+1)/(rn-1)  ⇔  π/m ≤ arcsin(rn-1)/(rn+1)  ⇔   m ≥ π/arcsin(1 - 2/(rn+1))

Wir setzen  rn  in dieser Ungleichung ein:

n = 3  ⇒  m ≥ 3,825  ⇒  m ≥ 4
n = 4  ⇒  m ≥ 7,356  ⇒  m ≥ 8
n = 5  ⇒  m ≥ 17,801  ⇒  m ≥ 18

Die minimalen  m  sehen wir auch in der folgenden Tabelle:

n,m   rn             1+2rm    rm
 3   6,464 →→→→→→→| 13.928
 4   2,414 →→→→|  |← 5.828   2,414
 5   1,426 →|  |     3.852
 6          |  |     3.000
 7          |  |     2.533
 8          |  |←←←← 2.240   0,620
 9          |        2.040
10          |        1.894
11          |        1.784
12          |        1.698
13          |        1.629
14          |        1.572
15          |        1.525
16          |        1.485
17          |        1.450
18          |←←←←←←← 1.420   0,210
19                   1.394


Wir wollen  n  äußere und  m  innere Blütenblätter zeichnen. Dies sind die erlaubten Paare:

(n, m) = (3, ≥ 4)    (n, m) = (4, ≥ 8)    (n, m) = (5, ≥ 18)


Bild 4 zeigt das Ergebnis für die minimalen  m .  Es wurde jeweils nur eines der äußeren Blütenblätter mit den inneren Blütenblättern gefüllt.

alle Blueten
Bild 4
(n, m) = (3, 4)    (n, m) = (4, 8)    (n, m) = (5, 18)


Publiziert 2023-09-27          Stand 2022-01-28

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