Beweis von (1) zur Herleitung des Breitengrads (2) in der Lösung zu Problem 120
Ausgangspunkt ist das geozentrische Modell der "Himmelskugel" mit der Erde im Mittelpunkt.
Bild 1
Den Radius der Himmelskugel setzt man der Einfachheit halber gleich 1 . Auf sie kann man die Positionen des Betrachters und der Sonne projizieren. Die Breitenkreise am nördlichsten und südlichsten Punkt der Sonnenbahn sind der nördliche bzw. südliche Wendekreis auf der Himmelskugel. In Bild 1 sind wir nahe am nördlichen Winteranfang, denn die Sonne steht nahe des südlichen Wendekreises.
Man legt ein kartesisches Koordinatensystem in diese Himmelsdarstellung, dessen x-y-Ebene die Äquatorebene ist und dessen z-Achse durch die Pole verläuft; in Bild 1 stehen N und S für den Nord- bzw. Südpol. Wir legen die x- und die y-Achse so, dass der Betrachter die Koordinaten x > 0 und y = 0 hat.
Durch Einführung von Kugelkoordinaten erhält man in diesem Äquatorialsystem ein zweites Koordinatensystem. Die äquatorialen Kugelkoordinaten δ und τ stehen normalerweise für Breitengrad und Längengrad und sind dann analog zum Erdglobus definiert (Bild 2). Hier steht τ für das zur Länge äquivalente Konzept der Ortszeit des Betrachters, d.h. für die Position der Sonne:
δ ∈ [-90°, 90°] Breite
hier: δ ∈ [-23,44°, 23,44°] Deklination der Sonne
τ ∈ [0°, 360°) Uhrzeit (wahre Sonnenzeit des Betrachters); 0° entspricht Mitternacht
Bild 2
Umrechnungsformeln:
(A) x = - cos δ cos τ
y = cos δ sin τ
z = sin δ
Für unser Inselproblem wird noch ein weiteres Koordinatensystem benötigt, das Horizontalsystem, das am Beobachter auf der Erde orientiert ist. Der Beobachter sieht nur eine Hälfte der Himmelskugel und gibt die Position von Sonne und Sternen ebenfalls in Breite und Länge an, aber bezogen auf seinen eigenen Horizont. Zur Veranschaulichung legt man das Netz der horizontalen Koordinaten über das in Bild 1 skizzierte Himmelsmodell. Dies sieht man in Bild 3; der dort eingezeichnete Winkel φ ist die irdische geographische Breite des Beobachters.
Bild 3
Wie liegen äquatoriales und horizontales System in Bild 3 zueinander? Die y-Achse wurde beihalten und eine Drehung in der x-z-Ebene durchgeführt. Die neuen Koordinaten sollen x', y', z' heißen.
Umrechnung äquatorial → horizontal (für die Lage des Horizontes wie in Bild 3):
(B) x' = x sin φ - z cos φ
y' = y
z' = x cos φ + z sin φ
Im Problem 120 geht es um den Sonnenaufgang und -untergang, also z' = 0 . Aus (A) und (B) erhalten wir
0 = z' = - cos δ cos τ cos φ + sin δ sin φ
Dies führt direkt auf die Formel (1) in der Lösung von Problem 120.