Manfred Börgens Mathematische Probleme # 101 |
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Für welche Primzahlen p ist
2p + p2 prim ?
Durch Auflistung der Summen für die ersten p erkennt man schnell eine Teilbarkeitsregel, die (fast immer) für die Summe gilt. Diese Regel gilt aber nicht für die beiden einzelnen Summanden, sondern bei denen wird man sich die Reste beim Teilen anschauen müssen, um einen Beweis zu finden.
Wir schauen uns
2p + p2 für die Primzahlen p ≤ 19 an:
p 2p + p2
2 8
3 17 prim
5 57
7 177
11 2169
13 8361
17 131361
19 524649
Für p = 3 erhält man eine Primzahl, für alle anderen ungeraden Primzahlen p ergeben sich für die Summen Vielfache von 3 . Das soll nun bewiesen werden. Einen Hinweis könnten die beiden einzelnen Summanden geben:
p 2p p2
5 32 25
7 128 49
11 2048 121
13 8192 169
17 131072 289
19 524288 361
Nun, das ist nicht schwer zu sehen:
- In der Spalte für
2p fehlt immer 1 an einem Vielfachen von 3 ;
2p lässt sich also als 3j - 1 schreiben.
- In der Spalte für
p2 steht stets 1 plus ein Vielfaches von 3 ;
p2 lässt sich also als 3k + 1 schreiben.
Das kann man auch so darstellen: 2p = 2 mod 3, p2 = 1 mod 3
Warum ist das so?
2p = 2 mod 3 gilt für alle ungeraden p , nicht nur für Primzahlen, wie man induktiv nachweist:
Der Induktionsanfang für p = 1 ist trivial. - Ist
2p = 3j - 1 , so ist
2p+2 = 4·(3j - 1) = 12j - 4 = 12j - 3 - 1 = 3(4j - 1) - 1 = 3j1 - 1
Nun zu p2 = 1 mod 3 . Hier wird verwendet, dass p prim ist. - Wir zeigen, dass p2 - 1 durch 3 teilbar ist:
p2 - 1 = (p - 1)(p + 1). Nun sind p - 1 , p , p + 1 drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen; da p als Primzahl nicht durch 3 teilbar ist, muss entweder p - 1 oder p + 1 durch 3 teilbar sein.
3 ist die einzige Primzahl p , für die
2p + p2 prim ist.
Alle anderen
2p + p2 mit
p > 3 sind durch 3 teilbar.
Dieses Problem entstammt der hervorragenden und sehr empfehlenswerten Website Mathematical Excalibur, die vom Department of Mathematics der Hong Kong University of Science and Technology herausgegeben wird. Unser Primzahlenproblem findet man in Ausgabe 3/3, Problem 56. - Es werden auf dieser Problem-Seite von Zeit zu Zeit noch einige weitere Excalibur-Probleme erscheinen.
Publiziert 2017-12-31 Stand 2016-12-26
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