Diese Seite erscheint gleichzeitig als "Mathematik auf Briefmarken" # 73.


Eine Rarität :  Ein mathematisches Problem auf einem Briefumschlag. Eine schöne Idee der MAA. Man beachte auch das Logo der MAA, das Ikosaeder.

Die folgende Aufgabe wird dargestellt :  In einem Punkt einer Ellipse mit den Halbachsen  \(a\)  und  \(b\)  werden Tangente und Normale angelegt (außerhalb der Scheitelpunkte; o.E. im 1. Quadranten). Bezeichnet man deren Nullstellen mit  \(x_1\)  bzw.  \(x_2\) ,  so gilt  \(\mathbf{x_1\cdot x_2~=~a^2-b^2}\) .

Lösung

Gleichung der Tangente an den Ellipsenpunkt  \((x_{o~},~y_o)\) : \[{x\cdot x_o \over a^2} +{y\cdot y_o \over b^2}~=~1\] Für  \(y=0\)  erhält man die Nullstelle: \[x_1={a^2 \over x_o}\] \[\text{Tangentensteigung:}~~-{x_o \cdot b^2 \over y_o \cdot a^2}\] Da die Normale senkrecht auf der Tangente steht, ist ihre Steigung das negative Reziproke der Tangentensteigung: \[\text{Normalensteigung:}~~{y_o \cdot a^2 \over x_o \cdot b^2}\] Da man außerdem einen Punkt der Normalen kennt, nämlich  \((x_{o~},~y_o)\) ,  erhält man die Normalengleichung: \[a^2 \cdot ({x \over x_o}-1)~=~b^2 \cdot ({y \over y_o}-1)\] Für  \(y=0\)  erhält man die Nullstelle: \[x_2=(1-{b^2 \over a^2}) \cdot x_o\] Es folgt  \(x_1\cdot x_2~=~a^2-b^2\) .

Publiziert 2010-12-13          Stand 2010-01-01

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Manfred Börgens   |    zur Leitseite