Manfred Börgens Mathematische Probleme # 68 |
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Kleinste und größte Lottozahl
Bestimmen Sie für die kleinste und die größte Zahl bei einer Lottoziehung die Erwartungswerte und Varianzen.
Die Lottourne möge m Kugeln enthalten, von denen n gezogen werden. Wir betrachten zuerst die größte gezogene Zahl und berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass diese gleich k ist:
Begründung: Der Nenner ist die Anzahl möglicher Ziehungen. Für den Zähler gilt: Ist k das Maximum der gezogenen Zahlen, so gibt es für die restlichen n - 1 (kleineren) gezogenen Zahlen noch k - 1 mögliche Plätze.
Erwartungswert:
Einschub:
Die Summanden auf der linken Seite bilden eine (abbrechende) Diagonale im Pascal'schen Dreieck. Berechnet man die Summe, so fällt auf, dass diese immer rechts unterhalb der Diagonale steht, wie im folgenden Beispiel für n = 2 und m = 6 : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Man erhält so: Die Vermutung, dass dies allgemein richtig ist, beweist man ohne Mühe induktiv über m . |
Mit dem Einschub erhält man:
Für die kleinste gezogene Zahl gilt analog:
durch Umsortierung j = m - k . - Also ist:
Die hintere Summe ist gleich
Hierbei wurde der Einschub verwendet; ebenso bei der folgenden Zusammenfassung:
Damit erhält man:
Dies hätte sich auch einfacher aus Symmetriegründen ergeben: Emin = m + 1 - Emax
Die Varianz ist für die kleinste und die größte gezogene Zahl gleich und wird nur für die größte berechnet:
Publiziert 2009-09-24 Stand 2009-03-02
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