Kugel-Skulptur

Ein Künstler erhält den Auftrag, eine Skulptur aus Steinkugeln zu fertigen. Die Kugeln sollen senkrecht übereinander liegen und nach oben hin immer kleiner werden. Ihre "gedachte Hülle" soll ein senkrechter Kreiskegel sein, d.h. alle Kugeln berühren diesen unsichtbaren Kegel von innen entlang eines ihrer "Breitenkreise". Der Auftraggeber gibt zwei Grundmaße vor: Die unterste Kugel soll einen Durchmesser von 1 m haben, und der Öffungswinkel des Kegels soll 30° betragen. Wie hoch wird die Skulptur? Welches Volumen hat die Skulptur?

Lösung

Wir wollen zunächst die Durchmesser der Kugeln bestimmen. Dafür betrachten wir zwei sich berührende Kugeln in einem Hüllkegel (siehe Längsschnitt in der folgenden Skizze; dort wurde allerdings ein anderer Winkel als  30° gewählt). Es soll das Verhältnis der beiden Radien  r₁  und  r₂  bestimmt werden.  m₁  und  m₂  sind die Abstände der Kreismittelpunkte von der Kegelspitze.  α  ist der halbe Öffnungswinkel des Kegels.



(1)  r₁ = m₁·sin α 
(2)  m₁ = m₂ + r₁ + r₂ 
(3)  m₂ = r₂ / sin α 

Aus (1) - (3) folgt:

r₁ = r₁·sin α + r₂·(1 + sin α)

und damit

r₂ = r₁·(1 - sin α) / (1 + sin α) 

Also stehen die Radien (und damit auch die Durchmesser) aufeinanderfolgender Kugeln in der Skulptur immer in einem festen Verhältnis   q = (1 - sin α) / (1 + sin α) .

In den Kegel passen theoretisch unendlich viele Kugeln, aber der Bildhauer wird nur endlich viele Kugeln fertigen  -  sagen wir  n  Stück. Dann ist die Höhe  h_n  der Skulptur die Summe aller Durchmesser, beginnend mit  1  (die Einheit Meter lassen wir in den Formeln weg):



Für die Aufgabenstellung ist  α = 15°. Für diesen Winkel ergibt sich:



Würde der Bildhauer  12  Kugeln aufeinanderlegen, so hätte die oberste den Durchmesser  q¹¹ , was knapp  3 mm  entspricht, und die Höhe der Skulptur wäre etwa  2.4276 m .

Der Grenzwert für diese Höhe ist



Diesen Wert erhält man natürlich auch, indem man die Höhe des Kegels berechnet. In der Skizze oben habe die untere Kugel den Durchmesser  1 , also  r₁ = 1/2 . Nach (1) ist dann  m₁ = r₁ / sin α = 1 / (2·sin α) . Für die Kegelhöhe ist nun noch der Radius  1/2  der unteren Kugel zu addieren, und man erhält wieder  h = (1 + sin α) / (2·sin α) .


Zum Volumen der Skulptur:

Für den Kugeldurchmesser  qⁱ  ist das Kugelvolumen  π·q³ⁱ/6 . Bei  n  Kugeln erhält man als Gesamtvolumen:



Der Grenzwert für dieses Volumen ist



Zum Vergleich: Der Hüllkegel hat das Volumen



(Beide Volumenangaben in  m³.)

Publiziert 2006-09-24          Stand 2006-02-15

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