Eratosthenes (276 - 194 v. Chr.)

In "Mathematik auf Briefmarken" sind bereits mehrere Privatmarken vorgestellt worden. Diese Marken können offiziell für das Porto verwendet werden und sollten deshalb in der thematischen Philatelie nicht ignoriert werden. Eratosthenes wurde bislang nicht durch eine Postverwaltung mit einer Briefmarke bedacht, also bietet sich die oben gezeigte sehr schön gestaltete Privatmarke an, um an ihn zu erinnern.  –  In diesem Jahr 2025 gibt es dafür auch einen Anlass: Eratosthenes wurde vor 2300 Jahren geboren. Bei dieser Zeitangabe ist berücksichtigt, dass es in unserer bürgerlichen Zeitrechnung kein Jahr 0 gibt.

Eratosthenes war ein griechischer Gelehrter aus Kyrene im heutigen Libyen. Nach Studien in Athen wurde er Leiter der Bibliothek von Alexandria.

Zwei bedeutende und weithin bekannte Leistungen des Eratosthenes sollen hier vorgestellt werden; die erste sieht man auf der Briefmarke.


Das Sieb des Eratosthenes

Eratosthenes ersann eine Methode, um alle Primzahlen bis zu einer vorgegebenen Größe  N  in aufsteigender Reihenfolge zu bestimmen. Die  n-te Primzahl sei  p_n .  Das "Sieb des Eratosthenes" ist eine Auflistung der natürlichen Zahlen von  2  bis  N ,  aus denen sukzessive alle Zahlen gestrichen werden, die einen echten Teiler haben  –  übrig bleiben dann die Primzahlen.

Hier ist der Algorithmus:

(Start)
n = 1   p₁ = 2
(Schleife)
–  Streiche alle Vielfachen von  p_n  (außer  p_n).
–  p_n+1  ist die kleinste Zahl > p_n ,  die nicht gestrichen wurde.
–  Abbruch bei  p_n+1 > √N   →   Die gesuchten Primzahlen sind alle nicht-gestrichenen Zahlen in der Liste.
–  n+1 → n

Was bedeutet dieses Abbruchkriterium? Ist eine Zahl ≤ N  nicht-prim und hat einen Primfaktor  q > √N ,  so hat sie auch einen Primfaktor  p < √N  und wurde deshalb bereits gestrichen, wenn der Algorithmus alle Streichungen für  p_n ≤ √N  abgearbeitet hat  –  die Streichungen der Vielfachen von  q  erübrigen sich somit.

Z.B. müssen für  N = 100  nur die Vielfachen der Primzahlen bis einschließlich  7  gestrichen werden.


Die Bestimmung des Erdumfangs

Eratosthenes hat vermutlich als Erster eine wissenschaftlich fundierte Schätzung des Umfangs der Erde gegeben. Schon zu seiner Zeit wurde die Erde als kugelförmig angenommen. Seine entscheidende Idee ist ein mathematisch-geodätisches Modell, das in Bild 1 dargestellt ist. Wir sehen dort einen Querschnitt durch die Erde; der rechte Kreisrand ist der Meridian, auf dem Alexandria liegt. Über diesem Meridian soll die Mittagssonne stehen, deren Strahlen als parallel angenommen werden. Diese Strahlen fallen in unterschiedlichen Winkeln auf die Orte auf diesem Meridian. Der Winkel  α  in Bild 1 ist die Abweichung der Sonne vom Zenit für Alexandria. Als zweiten Ort wollte Eratosthenes den Schnittpunkt des Meridians mit dem nördlichen Wendekreis wählen; dieser liegt genau südlich von Alexandria. Wählt man nun als Zeitpunkt die Sommersonnenwende, so steht die Sonne über dem Wendekreis mittags im Zenit, und die beiden Orte bilden den Mittelpunktswinkel  α  (Elemente des Euklid, Buch 1, Proposition 29). Nun verhält sich die Entfernung  AW  zwischen Alexandria und dem Wendekreis (dicker Kreisbogen in Bild 1) zum Kreisumfang  U  wie  α  zu   360° .

(1)   AW : U = α : 360°   →   U = AW·360°/α



Bild 1

Dieses Modell ebnete den weiteren Weg: Eratosthenes musste  α  und  AW  messen und konnte so den Erdumfang  U  angeben. So klug und korrekt das Modell auch ist, die erforderlichen beiden Messungen waren alles andere als einfach.

Beginnen wir mit  α .  Die Sonnenhöhe maß man in der Antike mit einem Gnomon oder einer Skaphe; diese Geräte erlaubten den entsprechenden Winkel mittels einer Schattenlänge abzulesen. Im Folgenden soll "Gnomon" für beide Instrumente stehen. Eratosthenes gab den Winkel nicht in Grad an, sondern als Teil eines Vollkreises  –  bei der Bestimmung von  U  war das der Wert  1/50 .  Statt  360°/α  wie in (1) setzte Eratosthenes also den Faktor  50  ein. Dieser Wert war nicht besonders genau, wie wir noch sehen werden.

AW  bereitete noch größere Probleme. Bild 1 zeigt, dass Eratosthenes davon ausging, dass die Stadt Syene am Nil (das heutige Assuan) genau südlich von Alexandria auf dem nördlichen Wendekreis liegt; in Wirklichkeit liegt Syene deutlich nordöstlich von diesem Punkt. Eratosthenes nahm also statt des eigentlich gewünschten Werts  AW  irrtümlich die Entfernung  AS  Alexandria - Syene; diese hat er wohl nicht selbst vermessen, sondern sich auf die Angaben der ägyptischen Geodäten verlassen:  AS = 5.000 Stadien .  Über die Länge eines Stadions herrscht bis heute Uneinigkeit; weiter unten gehen wir genauer darauf ein. Als Abkürzung dafür wird im Folgenden  st  verwendet.

So kam Eratosthenes auf einen Erdumfang von  U_E = 250.000 st .

Der folgende Kasten zeigt eine verbreitete Darstellung dieses Resultats: