Manfred Börgens Mathematik auf Briefmarken # 72 |
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Die goldene Zahl Φ
Der griechische Großbuchstabe Φ (Phi) steht für die Goldene Zahl und damit für das Verhältnis zweier Zahlen, das man als den Goldenen Schnitt kennt. Auf der Briefmarke aus Macao sieht man den genauen Wert von Φ ( = (1 + 51/2)/2 ) und auf dem Hintergrund des Blocks die ersten 4410 Stellen von Φ , oben links beginnend (die ersten 20 Stellen fett) mit 1,61803...
Auf beiden Seiten der Briefmarke sind geometrische Konstruktionen dargestellt, mit denen Φ erzeugt werden kann. Links oben steht die Standard-Definition von Φ mittels einer Teilung der Strecke AB . (Im Folgenden wird aus dem Zusammenhang ersichtlich, ob ein solches Buchstabenpaar die zugehörige Strecke oder ihre Länge bedeutet.) Der Teilungspunkt C ist so gewählt, dass AC/CB = AB/AC ist. Also gilt AC/CB = (AC + CB)/AC = 1 + CB/AC . Setzt man nun Φ = AC/CB , so ist Φ = 1 + 1/Φ . Φ erfüllt also die quadratische Gleichung Φ2 - Φ = 1 mit der positiven Lösung Φ = (1 + 51/2)/2 .
Links unten sieht man eine Konstruktion, die in der Übersetzung aus dem Portugiesischen bedeutet: Teilung der "Ganzen" AB . Zunächst konstruiert man das rechtwinklige Dreieck ABD , bei dem die Seite BD die Länge AB/2 hat. Die Hypothenuse AD wird durch einen Punkt E so geteilt, dass DE = BD ist. Da die Hypothenuse die Länge AB·51/2/2 hat, ist AE = AB·51/2/2 - AB/2 . Somit ist AB/AE = 2/(51/2 - 1) . Durch Erweiterung dieses Bruchs mit 51/2 + 1 erhält man AB/AE = Φ . Nun trägt man noch die Strecke AC = AE ab, und C teilt AB nach dem Goldenen Schnitt.
Während der Ausgangspunkt der vorigen Konstruktion die gesamte Strecke AB war, liegt rechts oben mit CB zunächst nur die kleinere der beiden Teilstrecken vor; die größere AC soll angelegt werden. Die portugiesische Unterschrift bedeutet Konstruktion der "Größeren" AC . Man konstruiert das rechtwinklige Dreieck CBG , bei dem die Seite BG die Länge CB/2 hat. Die Hypothenuse wird über G hinaus um die Strecke BG bis zum Punkt H verlängert. Dann ist CH = CG + BG = CB·51/2/2 + CB/2 = CB· Φ . Gibt man der links an CB angelegten Verlängerung AC die Länge CH , so ergibt sich der Goldene Schnitt AC/CB = Φ .
Die letzte Konstruktion (unten rechts) geht von der größeren der beiden Teilstrecken, also von AC aus, die kleinere CB soll angelegt werden. Die portugiesische Unterschrift bedeutet Konstruktion der "Kleineren" CB . In C wird die Senkrechte CF mit der Länge AC errichtet. Dann verlängert man AC nach rechts und trägt von O , dem Mittelpunkt von AC , die Strecke OF nach rechts bis zum Punkt B ab. OB = OF hat die Länge AC·51/2/2 . Also hat AB die Länge AO + OB = AC/2 + AC·51/2/2 . So erhält man wieder den Goldenen Schnitt AB/AC = Φ .
Eine andere Konstruktion der Goldenen Zahl Φ wird auf einer japanischen Briefmarke gezeigt:
Japan 1986 Michel 1679 Scott 1668
Das Quadrat habe die Seitenlänge 1 . Die Diagonale in der oberen Hälfte des Quadrates hat die Länge 51/2/2 . Mit diesem Radius schlägt man einen Kreis um den Mittelpunkt der rechten Quadratseite und verlängert die rechte Quadratseite bis zum Kreis. Die rechte Randlinie in der Konstruktionszeichnung hat dann die Länge 1/2 + 51/2/2 = Φ .
Publiziert 2010-08-19 Stand 2010-01-26