Die goldene Zahl  Φ


Der griechische Großbuchstabe  Φ  (Phi)  steht für die Goldene Zahl und damit für das Verhältnis zweier Zahlen, das man als den Goldenen Schnitt kennt. Auf der Briefmarke aus Macao sieht man den genauen Wert von  Φ  ( = (1 + 5^1/2)/2 ) und auf dem Hintergrund des Blocks die ersten 4410 Stellen von  Φ , oben links beginnend (die ersten 20 Stellen fett) mit 1,61803...

Auf beiden Seiten der Briefmarke sind geometrische Konstruktionen dargestellt, mit denen  Φ  erzeugt werden kann. Links oben steht die Standard-Definition von  Φ  mittels einer Teilung der Strecke  AB . (Im Folgenden wird aus dem Zusammenhang ersichtlich, ob ein solches Buchstabenpaar die zugehörige Strecke oder ihre Länge bedeutet.)  Der Teilungspunkt  C  ist so gewählt, dass  AC/CB = AB/AC  ist. Also gilt  AC/CB = (AC + CB)/AC = 1 + CB/AC . Setzt man nun  Φ = AC/CB , so ist  Φ = 1 + 1/Φ .  Φ  erfüllt also die quadratische Gleichung  Φ² - Φ = 1  mit der positiven Lösung  Φ = (1 + 5^1/2)/2 .

Links unten sieht man eine Konstruktion, die in der Übersetzung aus dem Portugiesischen bedeutet: Teilung der "Ganzen"  AB . Zunächst konstruiert man das rechtwinklige Dreieck  ABD , bei dem die Seite  BD  die Länge  AB/2  hat. Die Hypothenuse  AD  wird durch einen Punkt  E  so geteilt, dass  DE = BD  ist. Da die Hypothenuse die Länge  AB·5^1/2/2  hat, ist  AE = AB·5^1/2/2 - AB/2 . Somit ist  AB/AE = 2/(5^1/2 - 1) . Durch Erweiterung dieses Bruchs mit  5^1/2 + 1  erhält man  AB/AE = Φ . Nun trägt man noch die Strecke  AC = AE  ab, und  C  teilt  AB  nach dem Goldenen Schnitt.

Während der Ausgangspunkt der vorigen Konstruktion die gesamte Strecke  AB  war, liegt rechts oben mit  CB  zunächst nur die kleinere der beiden Teilstrecken vor; die größere  AC  soll angelegt werden. Die portugiesische Unterschrift bedeutet Konstruktion der "Größeren"  AC . Man konstruiert das rechtwinklige Dreieck  CBG , bei dem die Seite  BG  die Länge  CB/2  hat. Die Hypothenuse wird über  G  hinaus um die Strecke  BG  bis zum Punkt  H  verlängert. Dann ist  CH = CG + BG = CB·5^1/2/2 + CB/2 = CB· Φ . Gibt man der links an  CB  angelegten Verlängerung  AC  die Länge  CH , so ergibt sich der Goldene Schnitt  AC/CB = Φ .

Die letzte Konstruktion (unten rechts) geht von der größeren der beiden Teilstrecken, also von  AC  aus, die kleinere  CB  soll angelegt werden. Die portugiesische Unterschrift bedeutet Konstruktion der "Kleineren"  CB . In  C  wird die Senkrechte  CF  mit der Länge  AC  errichtet. Dann verlängert man  AC  nach rechts und trägt von  O , dem Mittelpunkt von  AC , die Strecke  OF  nach rechts bis zum Punkt  B  ab.  OB = OF  hat die Länge  AC·5^1/2/2 . Also hat  AB  die Länge  AO + OB = AC/2 + AC·5^1/2/2 . So erhält man wieder den Goldenen Schnitt  AB/AC = Φ .

Eine andere Konstruktion der Goldenen Zahl  Φ  wird auf einer japanischen Briefmarke gezeigt:

 Japan 1986   Michel 1679   Scott 1668

Das Quadrat habe die Seitenlänge  1 . Die Diagonale in der oberen Hälfte des Quadrates hat die Länge  5^1/2/2 . Mit diesem Radius schlägt man einen Kreis um den Mittelpunkt der rechten Quadratseite und verlängert die rechte Quadratseite bis zum Kreis. Die rechte Randlinie in der Konstruktionszeichnung hat dann die Länge  1/2 + 5^1/2/2 = Φ .

Publiziert 2010-08-19          Stand 2010-01-26