Problem des Monats November 2002

Die folgende kleine mathematische Erzählung ist sehr bekannt und sehr alt.

Es lebte in Arabien ein alter Vater, der drei Söhne und 17 Kamele hatte. Als der Greis sein Ende nahen fühlte, versammelte er die Söhne um sich und sprach zu ihnen: "Alles was ich euch hinterlasse, sind meine Kamele. Teilt sie so, dass der Älteste die Hälfte, der Mittlere ein Drittel und der Jüngste ein Neuntel erhält." Kaum war dies verkündet, da schloss er die Augen, und die Söhne konnten ihn nicht mehr darauf aufmerksam machen, dass sein letzter Wille offenbar unvollstreckbar sei. Siebzehn ist doch eine störrische Zahl und lässt sich weder durch zwei noch durch drei und schon gar nicht durch neun teilen! Doch der letzte Wille des Vaters ist jedem braven Araber heilig. Da kam zum Glück ein weiser Pilger auf seinem Kamel daher geritten, der sah die Ratlosigkeit der drei Erben und bot ihnen seine Hilfe an. Sie trugen ihm den verzwickten Fall vor, und der Weise riet lächelnd, sein eigenes Kamel zu den hinterlassenen zu stellen und die gesamte Herde nach dem letzten Willen des Vaters zu teilen, und siehe da - der Älteste bekam neun der Tiere, der Mittlere sechs, der Jüngste zwei, das waren eben die Hälfte, ein Drittel und ein Neuntel, und auf dem Kamel, das übrig blieb, ritt der Weise - denn es war das seine - lächelnd davon.

In den Überlieferungen wechseln manchmal die Zahlen, z.B. funktioniert die Sache auch mit 11 Kamelen und den Anteilen ¹/₂ , ¹/₄ , ¹/₆  oder mit 23 Kamelen und den Anteilen ³/₈ , ¹/₃ , ¹/₄ .

Es stellen sich zwei Fragen:

1.
Nach der Aufteilung des Erbes sind offenbar alle zufrieden. Aber ist die Aufteilung auch gerecht?

2.
Warum klappt der Trick des Pilgers eigentlich so gut? Man findet leicht ähnliche Beispiele, bei denen selbst nach der Zugabe von mehreren Kamelen eine ganzzahlige und vollständige Aufteilung des Erbes nicht möglich ist, etwa mit 27 Kamelen und den Anteilen ¹/₂ , ¹/₄ , ¹/₇ . Deshalb lautet die Verallgemeinerung des Problems:

Der Vater vererbt  n  Kamele auf  m  Erben, deren Erbanteile rational sind und in der Summe weniger als  1  ergeben. Der Pilger darf  k  Kamele hinzu geben und erhält sie nach der Erbaufteilung wieder zurück.

Wann geht unter diesen Umständen die Teilung des Erbes glatt auf?

Lösung



Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π