Seine  Puzzle Corner  erscheint in der Zeitschrift  Technology Review.

Allan Gottlieb stellte in der Ausgabe 3/1971 seiner Puzzle Corner das Problem # 22 vor: \[\textbf{(1)}~~~\lim_{n \to \infty}~\frac{\sum_{j=1}^n~j~!}{(n-1)~!~+~n~!}~=~1\]               →     Die Summe der ersten \(~n~\) Fakultäten ist asymptotisch gleich den addierten beiden letzten Summanden.

Der Beweis ist nicht besonders schwer und ist die  erste Aufgabe  dieser Problemseite.

Hat Allan Gottlieb übersehen, dass es noch einfacher geht? Es gilt nämlich: \[\textbf{(2)}~~~\lim_{n \to \infty}~\frac{\sum_{j=1}^n~j~!}{n~!}~=~1\]               →     Die Summe der ersten \(~n~\) Fakultäten ist asymptotisch gleich dem letzten Summanden.

Die  zweite Aufgabe  besteht darin, (2) aus (1) herzuleiten.

(2) lässt sich auch direkt beweisen, ohne Kenntnis von (1) oder Rückgriff darauf. Das ist aufwändiger, kann aber als  Zusatzaufgabe  bearbeitet werden.
Ein Tipp dazu kann abgerufen werden, indem der Rest dieser Zeile markiert wird: Produkte logarithmieren, Summen durch Integrale abschätzen.


Lösung

Publiziert 2025-09-07          Stand 2023-04-08

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