Manfred Börgens Mathematische Probleme # 122 |
Liste aller Probleme mit Lösungen voriges Problem nächstes Problem |
zur Leitseite |
Nach langer Zeit wieder eine Zahlenfolge.
Im Problem # 19 ging es schon einmal um eine Zahlenfolge. Das war vor fast 21 Jahren, als diese Website erst anderthalb Jahre alt war.
Es soll die Fortsetzung einer Folge \((a_n)_{n \in N}\) gefunden werden. Hier kommt die Aufgabenstellung:
Berechnen Sie \(lim_{~n \rightarrow \infty}~a_n\) für
\((a_n)_{n \in N}=(10000,121,100,31,24,22,20,17,16,15,14,13,12,11,10,~...)\).
\[\textit{Die Lösung ist:}~~~~\lim_{~n \to \infty}~a_n=G\]
Es handelt sich um die Folge \(a_n=16~~\text{zur Basis}~n+1\) .
Mit \(~x_b~\) soll die Zahl \(~x~\) im \(b-\)adischen Stellenwertsystem bezeichnet werden. Fehlt der Index \(~b~\), so soll \(~b=10~\) unterstellt werden, also \(~x~\) im Dezimalsystem. Das gilt insbesondere für die Basis selbst; man schreibt z.B. \(36_{12}\) statt \(36_{(12_{10})}\) . Ist \(b>10\) , so werden mehr als die Ziffern \(0,~...,~9\) benötigt; nach der \(9\) folgen dann \(A,B,C,~...\)
Beispiel: \(6B_{24}=11 \cdot 24^0 + 6 \cdot 24^1 = 155\)
Die Folge \((a_n)_{n \in N}=(10000,121,100,31,24,22,20,17,16,15,14,13,12,11,10,~...)\) beginnt also mit \(a_1=10000_2 = 1 \cdot 2^4=16\) und \(a_2=121_3 = 1 \cdot 3^0 + 2 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2=16\) .
Die letzte Zahl, die in der Folge angegeben wird, ist \(a_{15}=10_{16} = 1 \cdot 16^1 = 16\) .
Ist \(b>16\) , so besteht \(16_b\) nur aus der Einerstelle, also aus einer Ziffer: \(16_b=16 \cdot b^0=G_b=16\) , denn \(G\) steht für die Dezimalzahl \(16\) .
\[(a_n)_{n \in N}=(10000,121,100,31,24,22,20,17,16,15,14,13,12,11,10,G,G,G~...)\]
Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π
Publiziert 2023-03-27 Stand 2021-01-06
voriges Problem | Liste aller Probleme mit Lösungen | nächstes Problem