Alphametiken


Wieviele Lösungen haben die beiden folgenden Alphametiken?
Führende Nullen gibt es hier nicht.


  FÜNFZEHN
+ FÜNFZEHN
----------
= DREISSIG


  EINS
+ NEUN
------
= ZEHN

Lösung

Beide Alphametiken haben keine eindeutige Lösung. Das erste Problem hat gar keine Lösung und das zweite hat sechs Lösungen.


Der Beweis für das erste Problem ist ein Einzeiler:
Wegen  N + N = G mod 10  muss es in der dritten Spalte von vorne einen Übertrag geben:  N + N + 1 = E mod 10 . Dieser Übertrag wird durch  F + F  erzeugt  -  im Widerspruch zur vordersten Spalte.


Nun zum zweiten Problem. Zuerst die einfachen Folgerungen aus den einzelnen Spalten:

(1) Einerspalte    →    S = 0

(2) Hunderterspalte    →    I = 9

(3) Zehnerspalte  →    N + U  erzeugt Übertrag

(4) Tausenderspalte    →    Z = E + N + 1


Es liegt nahe, nun  N  genauer zu betrachten, da  N  an zwei relevanten Stellen auftritt. Man erkennt schnell, dass

N ∈ {3, 4, 5, 6}

Dies folgt aus  N ≠ 0  wegen (1),  N ≠ 9  wegen (2),  N ≠ 1, 2  wegen (3),  N ≠ 7, 8  wegen (4).

Geht man die erlaubten  N  durch, ergeben sich die anderen Buchstaben aus (3) und (4):


             (3)_⇓                    (4)_⇓

N = 3  :    U = 8  ∧  H = 1    →    E = 2  ∧  Z = 6

N = 4  :    U = 7  ∧  H = 1    →    E = 3  ∧  Z = 8
            U = 8  ∧  H = 2    →    E = 1  ∧  Z = 6

N = 5  :    U = 6  ∧  H = 1    →    E = 2  ∧  Z = 8
            U = 8  ∧  H = 3    →    E = 1  ∧  Z = 7

N = 6  :    U = 7  ∧  H = 3    ←    E = 1  ∧  Z = 8

Man beachte den umgekehrten Pfeil bei  N = 6 . Bei  N = 5  entfällt  U = 7 ∧ H = 2  wegen (4), dort findet sich kein passendes  E .

Hier sind die 6 Lösungen, gemäß der Tabelle aufsteigend nach  N  bzw.  U  sortiert:


  2930
+ 3283
------
= 6213


  3940
+ 4374
------
= 8314


  1940
+ 4184
------
= 6124


  2950
+ 5265
------
= 8215


  1950
+ 5185
------
= 7135


  1960
+ 6176
------
= 8136

Publiziert 2022-12-21          Stand 2020-06-23

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