Problem des Monats Mai 2003

Was tun Mathematiker in der Mittagspause? Die Professoren A., B. und C. treffen sich während eines Kongresses in der Mensa und unterhalten sich durch ein Spiel, das C. vorschlägt:

"Ihr beiden denkt Euch jeweils eine natürliche Zahl aus und gebt sie mir auf einem Zettel. Nur ich darf die Zettel anschauen."

C. schreibt dann die Summe und das Produkt der beiden Zahlen auf je einen Zettel, ohne dass A. oder B. dies lesen können. Er lässt A. einen dieser Zettel zufällig auswählen und zeigt seinen beiden Kollegen die Zahl auf ihm:

"Dies ist die Summe oder das Produkt Eurer beiden Zahlen. Eure eigene Zahl kennt Ihr. Ihr sollt herausfinden, welche Zahl der andere gewählt hat."

Auf dem Zettel, den C. vorzeigt, steht die Zahl 132.

A. äußert sich als erster: "Ich kenne B.'s Zahl nicht."

Dann sagt B: "Ich kenne A.'s Zahl auch nicht."

A. sagt nun: "Jetzt kenne ich B.'s Zahl." Er nennt sie, und C. gratuliert ihm: "Komplement, Komplement!"

•  Welche Zahl hat B. gewählt?
  
  
•  Kennt B. jetzt auch A.'s Zahl?
  
  
•  Welche anderen Zahlen als 132 hätte man in der Problemstellung wählen können?
  
  
•  Spielt es eine Rolle, ob man die 0 zu den natürlichen Zahlen rechnet oder nicht?

Lösung

Aus den beiden ersten Äußerungen von A. und B. wird klar, dass sich beide eine Zahl ausgedacht haben müssen, die sowohl Faktor als auch Summand von 132 ist. Als sich A. zuerst äußert, weiß B., dass A. einen der Faktoren  1, 2, 3, 4, 6, ... , 66  gewählt haben muss. Hätte B. einen Faktor  <66  oder die Zahl 132 auf seinen Zettel geschrieben, wäre 132 als Summe nicht möglich, also hätte B. Bescheid gewusst (Beispiel: Ist B.'s Zahl 22, so muss A.'s Zahl 6 sein). B. weiß aber nicht Bescheid, also muss seine Zahl 66 lauten.

A. kann sich also B.'s Zahl erschließen, weil B. passen muss. Aus der Sicht von B. kann A. die Zahlen 2 oder 66 gewählt haben. Welche von den beiden die richtige ist, kann B. (und können wir) auch nach A.'s zweiter Äußerung nicht wissen.

Statt 132 hätte man in der Problemstellung auch jede andere gerade Zahl  n > 4  wählen können. (2 geht nicht, weil dann B. gewusst hätte, dass A. die 1 gewählt hat; 4 geht nicht, weil B.'s Zahl dann 2 ist und B. dann gewusst hätte, dass A.'s Zahl 2 ist, was zur Summe und zum Produkt passt.) Auf B.'s Zettel muss dann  n / 2  stehen, auf A.'s Zettel kann entweder 2 oder  n / 2  stehen. Mit ungeraden Zahlen  n  wäre das Problem so nicht formulierbar gewesen.

Ob man die 0 zu den natürlichen Zahlen rechnet, spielt für die Aufgabe keine Rolle. Aus den ersten Äußerungen von A. und B. geht hervor, dass beide die 0 nicht gewählt haben können. Ein kleiner, aber nicht wesentlicher Unterschied besteht nur darin, dass für einen unbeteiligten Beobachter nach der ersten Aussage von A. zusätzlich 132 für A.'s Zahl möglich gewesen wäre.