Problem des Monats Dezember 2001

In der folgenden Addition stehen verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern:

K I N D E R
    L E I N
-----------
K O M M E T

Wie viele Kinderlein kommen denn? Anders gefragt: Wie viele Lösungen hat diese Additionsaufgabe?

Lösung

Die Gleichung hat 8 Lösungen:



Es ist reizvoll, alle Lösungen durch ein selbstgeschriebenes Programm ermitteln zu lassen. Allerdings dauert es sehr lange, wenn man alle 10 Buchstaben alle Zahlenwerte durchlaufen lässt ( 10 ! = 3.628.800  Möglichkeiten); eine gewisse Einschränkung ist sinnvoll, z.B.  I = 0 , O = 1 , N < 8 .

Eine systematische Ermittlung dieser Lösungen (von Hand) kann z.B. in den folgenden vier Schritten ablaufen:

Man fängt mit den (fast) offensichtlichen Dingen an:
I = 0
O = 1
1 < N < 8
1 < M < 8

Dann sucht man die Lösungen für ein Teilproblem aus der Mitte der Addition:

    N D
+   L E
= 1 M M

Diese lassen sich schnell aufzählen.

Von den Lösungen aus Schritt 2 streicht man diejenigen, für die es keine passenden  R  und  T  gibt (Addition der Einerspalte).

Nach Schritt 3 sind 9 Buchstaben bestimmt, also bleibt für  K  nur noch die fehlende Ziffer übrig.

Erläuterungen zu den ersten drei Schritten:

Wegen der Zehnerspalte kann  I  nur  0  oder  9  sein. Aber  9  kommt wegen  KO = KI + 1  nicht in Frage. Also ist  I = 0, woraus sofort  O = 1  folgt. Alle übrigen Buchstaben sind also > 1. N < 8  gilt, weil aus der Einerspalte kein Übertrag kommen darf. M < 8  folgt aus der Tausenderspalte, denn  N + L > 10 (Übertrag!) und  N + L < 17 (wegen N < 8).

Addition der Hunderter- und Tausenderspalte:

    N D
+   L E
= 1 M M

Am einfachsten ist es, die möglichen Werte für  M, also  2 ... 7, durchzugehen und passende Paare  D, E  und  N, L  zu suchen.  D  und  E  können dabei vertauscht werden (siehe Mengenklammern { } in der Tabelle), aber bei  N  und  L  kommt es auf die Reihenfolge an (siehe Vektorklammern ( ) in der Tabelle), weil  N < 8  gelten muss. In der Tabelle sind also die Spalten von links nach rechts ausgefüllt worden; für  M = 7  finden sich keine passenden  D, E, N, L :

In der vorigen Tabelle sucht man nun zu den  N  passende  R, T  für die Addition der Einerstelle. Dies geht nur an vier Stellen:



Wegen der Vertauschbarkeit von  D  und  E  ergeben sich die anfangs genannten 8 Lösungen.