Hinweis zu Problem # 137

Lemma

In einer Folge unabhängiger Versuche sei \(~p~\) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis \(~E~\) beim \(~j-\)ten Versuch auftritt; für jedes \(~j~\) beliebig aus \(~\textbf{N}~\) gewählt. Dann werden im Mittel \(~1/p~\) Versuche benötigt, bis \(~E~\) erstmalig auftritt.

Beweis

Dass \(~E~\) erstmalig im \(~j-\)ten Versuch auftritt, hat die Wahrscheinlichkeit \(~(1-p)^{_~j-1}\cdot p~\).  Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist als Geometrische Verteilung bekannt. Diese Verteilung hat den Erwartungswert \(~1/p~\);  das wird z.B.  → hier  bewiesen.


zurück zum Problem # 137

zur Leitseite

Manfred Börgens - Problem # 137 - Hinweis - Stand 2025-03-06