Hinweise:
1.
Offenbar hat es keinen Einfluss auf das Ergebnis, wie groß die Orange ist und wie weit sie aufgespießt wird, denn diese Angaben fehlen in der Problemstellung. Also kann man den einfachen Spezialfall untersuchen, bei dem die Spitze des Horns genau die Oberfläche der Orange erreicht (auf dem Bild in der Aufgabenstellung auf der linken Innenseite der Orange, die Schale wird dann nur auf der rechten Seite durchstoßen).
2.
Man benötigt das Volumen des "Restkörpers", also der durchbohrten Orange. Nutzt man den 1. Hinweis aus, kann man ohne große Mühe rein geometrisch arbeiten und die Maße der Kugel und des Restkörpers berechnen; eine Formelsammlung hilft dabei. Man kann sich aber auch der Integralrechnung bedienen, denn der Restkörper ist ein Rotationskörper. Hier lässt sich ebenfalls der 1. Hinweis gut ausnutzen, aber man erhält außerdem eine allgemeine Lösung für beliebige "Bohrungshöhen" (statt 7 cm) und beliebige Öffnungswinkel des Kegels (statt 10°), bei der die Verwendung des 1. Hinweises nicht mehr nötig ist.
3.
Bei der Integration stößt man auf ein quadratisches Polynom als Integranden, das auf den ersten Blick unbekannte Koeffizienten aufweist. Aber man erkennt sofort die beiden reellen Nullstellen dieses Polynoms (und den führenden Koeffizienten). Also lässt es sich in Linearfaktoren zerlegen.
Manfred Börgens - Problem des Monats September 2003 - Hinweise - Stand 17.8.2003