Lösung zu Gerberts Problem
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Ein von Gerbert gelöstes mathematisches Problem
In Gerberts Geometriebuch findet man ein Problem, das zur damaligen Zeit als sehr schwer galt: Ein rechtwinkliges Dreieck hat den Flächeninhalt A . Seine Hypothenuse hat die Länge c . Wie lang sind die Katheten a und b ? |
Vorüberlegung: Welche Werte dürfen A und c annehmen?
Wegen a·b = 2·A ist b = 2·A/a und c2 = a2 + b2 = a2 + 4·A2/a2 .
Mit x = a2 > 0 kann also c2 die Werte x + 4·A2/x annehmen; diese Funktion nimmt bei x = 2·A ihr Minimum an; dort ist c2 = 4·A (dann ist offenbar das Rechteck ein Quadrat).
Also muss gelten: c2 ≥ 4·A .
Diese Vorüberlegung war zu Gerberts Zeiten in der hier vorgestellten Form nicht möglich, da man die Differentialrechnung noch nicht kannte. Für die Lösung von Gerberts Problem ist die Vorüberlegung allerdings nicht unbedingt erforderlich.
Das Problem lässt sich mit verschiedenen Ansätzen lösen. Hier ist einer davon:
Lösung
Mit a2 + b2 = c2 und a·b = 2·A erhält man (a+b)2 = c2 + 4·A .
Wir setzen zur Abkürzung D = (c2 + 4·A)1/2 . Dann ist
a + 2·A/a = D --> a2 - a·D + 2·A = 0
Wenn man die Einschränkung aus der Vorüberlegung beachtet, erhält man eine oder zwei Lösungen für a . Da a und b vertauschbar sind, sind das die gesuchten Längen der Katheten:
a1,2 = (c2/4 + A)1/2 +- (c2/4 - A)1/2
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Manfred Börgens - Briefmarke # 65 - Lösung - Stand 2008-10-31